Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Sommes de deux séries entières récalcitrantes.

Posté par
Killerboy 08-01-10 à 13:15

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à calculer deux sommes de séries entières.

La première est la suivante :
a_{n}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{2n+1}, x>0 (précisé par l'énoncé).
Je n'arrive qu'à un truc de faux, valable seulement lorsque x<0...
Je trouve : a_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{-x}} arctan(\frac{1}{\sqrt{-x}}).

La seconde est la suivante :
b_{n}(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n(2n+1)} . Là, j'essaie d'utiliser l'intégration, mais je m'y perd (dans les indices?) pour trouver au final:
b_{n}(x)=\int_0^{x} \frac{ln(1-t)}{t} dt , ce qui n'a pas de sens.

Bref... j'aurais bien besoin d'un peu d'aide.
Merci d'avance et bonne journée!

Posté par
Camélia Correcteurre : Sommes de deux séries entières récalcitrantes. 08-01-10 à 14:27

Bonjour

Pour la première:

En effet, l'astuce est de poser y=\sqrt x, puisque x > 0, avec y > 0 bien sur.

Alors on trouve \sum_{n=0}^\infty\frac{y^{2n}}{2n+1} dont la somme est bien du genre de ce que tu écris. Vite fait, il me semble que c'est \frac{-1}{\sqrt x}\arctan(\sqrt x)

Pour la seconde il suffit de remarquer que \frac{1}{n(2n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{2}{2n+1} et de calculer séparément les deux sommes.

Posté par
Killerboyre : Sommes de deux séries entières récalcitrantes. 08-01-10 à 15:01

Merci pour ton aide.
Grâce à ce que tu m'as montré pour la seconde, celle-ci se calcule en fonction de la première (au vu du terme en \frac{x^{n}}{2n+1}).
Malheureusement, je n'arrive pas à obtenir, par un autre moyen que celui m'amenant au résultat faux, le (-1)^{n} nécessaire à l'arctangente...

\frac{-1}{\sqrt(x)}\arctan(\sqrt(x)) n'a pas l'air correcte puisqu'il me reste un (-1)^{n+1} dans son DSE...

Dans tous les cas, merci!

Posté par
Camélia Correcteurre : Sommes de deux séries entières récalcitrantes. 08-01-10 à 15:12

Tu as raison!

J'ai bien dit que c'est vite fait... Ce n'est pas arctan mais argth (la réciproque de la tangente hyperbolique) dont la dérivée est \frac{1}{1-u^2}=\sum u^{2n}

Posté par
Killerboyre : Sommes de deux séries entières récalcitrantes. 08-01-10 à 17:50

En effet, ça passe tout de suite beaucoup mieux!
Merci!

En fin de comptes, je trouve a_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}argth(\sqrt{x}).
Pour la seconde, je n'avais pas vérifié mais \frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}), ce qui ne fait plus apparaître la première série.

Je me trompe encore quelque part (invalidé sur Geogebra) en écrivant:
b_{n}(x)=\sum\frac{x^{n}}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\sum_{n=1} \frac{x^{n}}{n}-\sum_{n=1} \frac{x^{n}}{n+2})
Avec,
o) \sum_{n=1} \frac{x^{n}}{n}=\int_{0}^{x}\sum_{n=1} t^{n-1}dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}=ln(1-x)

o) \sum_{n=1} \frac{x^{n}}{n+2}=\frac{1}{x^{2}}\sum_{n=1} \frac{x^{n+2}}{n+2}=\frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x}\sum_{n=1} t^{n+1}=\frac{1}{x^{2}}\int_{0}^{x}\frac{t^{2}}{1-t}.

D'où, \sum_{n=1} \frac{x^{n}}{n+2}=-\frac{1}{4x^{2}}(2ln(1-x)+x^{2}+2x)

Et b_{n}(x)=\frac{1}{2}[ln(1-x)+\frac{1}{4x^{2}}(2ln(1-x)+x^{2}+2x)]

Mais je ne vois pas pourquoi...
Une idée?

Merci!

Posté par
Camélia Correcteurre : Sommes de deux séries entières récalcitrantes. 09-01-10 à 14:21

Quel est l'énoncé de la deuxième? J'ai cru qu'il s'agissait de \bigsum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n(2n+1)} maintenant, tu fais autre chose!

Posté par
Killerboyre : Sommes de deux séries entières récalcitrantes. 09-01-10 à 16:09

Catastrophe!
Désolé, ça fait deux jours que je ne dormais pas.

La seconde est bien b_{n}(x)=\sum a_{n}x^{n} avec a_{n}=\frac{1}{n(n+2)}, n>0.

Posté par
Camélia Correcteurre : Sommes de deux séries entières récalcitrantes. 09-01-10 à 16:24

Ah, bon, ça change tout!

Je n'ai pas lu tes calculs, mais c'est un genre de piège de type "telescopique". Soit f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x_n}{n} et g(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n+2} Alors x^2g(x)=f(x)-x-x^2/2, ce qui permet d'exprimer tout en fonction de f(x) que tu as calculé!

Posté par
Killerboyre : Sommes de deux séries entières récalcitrantes. 11-01-10 à 19:22

C'est parfait! Merci!
b_{n}(x)=\frac{1}{2}f(x)(1-\frac{1}{x^{2}})+\frac{1}{2x}+\frac{1}{4} avec f(x)=\sum_{n=1}\frac{x^{n}}{n}=-ln(1-x), pour -1<x<1.

Merci pour ton aide précieuse!
A la prochaine!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !