Bonjour

soient u et v ces deux vecteurs

au+bv une combinaison linéaire

a'u+b'v une autre

et tu dois faire la somme...

est ce que c'est encore une combinaison linéaire de u et v ?

Ca fait u(a+a') +v(b+b') donc c'est toujours une combinaison linéaire.
Mais dans notre exemple si u et v sont les vecteurs au dessus, a quoi correspond a, a' et b, b' ? Des coefficients que je dois trouver ?

a, a' b et b' sont des coefficients réels quelconques, qui te permettent d'écrire une combinaison linéaire quelconque...

Mais la je dois montrer que l'ensemble C est stable pour la somme et l'homothétie. C étant l'ensemble des CL de ces 2 vecteurs...
Comment suis-je censé trouver ces CL ?

C={au+bv, a dans R et B dans R}

pour montrer que C est stable pour la somme
tu prends 2 éléments de C et tu montres que la somme est encore dans C

un 1er élément de C s'écrit par ex a₁u+b₁v
etc...

Ok,
Si on prend la somme de a1u+b1v et a2u+b2v

On tombe sur u(a1+a2) + v(b1+b2)
cette somme est encore dans C ?

oui, bien sûr

Du coup la j'ai répondu à la question ? Je suis un peu perdu ^^

Mais une CL c'est pas de la forme xA+yB = 0 ?
En fait pour répondre ç la question je dois trouver ces a et b ? Mais comment ? Enfin pour vérifier quoi en fait ?

D'ailleurs C c'est l'ensemble des CL mais il y'en as combien ?

soit a_i et b_i dans R

soit a₁u+b₁v et a₂u+b₂v deux éléments de C

(a₁u+b₁v )+ (a₂u+b₂v) = (a₁+a₂)u+(b₁+b₂)v

or (a₁+a₂)R et
(b₁+b₂)R

donc (a₁+a₂)u+(b₁+b₂)v est élément de C

donc
C est stable pour l'addition

nos message se sont croisés....lis, et dis moi si ça va....

Ah si je comprends bien on est pas censé des chiffres pour les CL ? On va juste faire ca avec des paramètres ?

Sinon pourquoi est-ce que tu précises que (a1+a2)R et
(b1+b2) appartiennent à R ?

Et enfin je maintiens ma 1ere question : une CL n'est pas censée etre de la forme xA+yB = 0 or tu l'ecris xA+yB

On est pas censé trouver des chiffres*
C'est embêtant de pas pouvoir éditer...

Ok mais tu ecris que la CL est a1u+ b1v mais cette somme est égale à quoi ? C'est pas une CL s'il n'y a pas d'egalité si ?

a1u+ b1v est l'écriture d'une combinaison linéaire des vecteurs u et v

Mais il doit pas forcément y avoir une égalité pour que ce soit une CL ?
Une CL c'est bien une manière de comparer un élément par rapport à l'autre non ? Dire par exemple que a =1/2b s'il n'y a pas une égalité c'est impossible de dire ca non ?

Attends il faut qu'on se comprenne... ^^
C'est quoi pour toi la définition d'une CL ?

déjà dit le 9/10 à 17h41

je t'ai écrit C mathématiquement....

Ok !
Maintenant si on revient à l'exercice, on a démontré que C est stable pour la somme en montrant que u(a1+a2) + v(b1+b2) appartient à C.

Maintenant on fait la même chose avec le produit de C par un réel ?

Soit


Donc C stable pour l'homothétie ? Qu'est-ce qui nois permet de conclure ca en fait ? Est-ce le fait qu'on est toujours en présence d'une CL ?

l'idée est là...

soit au+bv un élément de C

soit k réel

k(au+bv)=(ka)u + (kb)v avec ka dans R et kb dans R

donc

k(au+bv)=(ka)u + (kb)v est bien un élément de C
donc C est stable par le produit par un scalaire

A quel moment C n'aurait pas été stable pour l'homothétie ? (on suppose... juste pour que je comprenne mieux pourquoi il est effectivement stable)

A quelle condition plutot*

il aurait fallu qu'il soit impossible d'écrire le résultat en fct de u et de v

un dit que u et v engendrent C
càd que grâce à eux deux seulement, on peut réussir à écrire n'importe quel vecteur de C

Oui les systèmes générateurs... j'ai pas encore trop bien compris cette notion, c'est hyper important parce qu'on l'utilise pour tout le reste (bases, dimension etc)

On a répondu à la question 1 la ? Pour déduire que c'est un ev il suffit de dire qu'il est stable pour la somme et le produit non ?

il reste à dire que C n'est pas vide
ainsi ce sera un sous espace vectorile de R3, donc un espace vectoriel

Dire que C n'est pas vide ? C'est a dire qu'il admet le vecteur nul ?

Je comprends pas bien ta phrase : "càd que grâce à eux deux seulement, on peut réussir à écrire n'importe quel vecteur de C"
Je pensais qu'un ensemble G engendrait un autre système E si tout élément X de E pouvait s'ecrire sous la forme d'une CL des vecteurs de G ?

eh bien ces deux vecteurs u et v engendrent C

C'est la partie "on peut réussir à écrire n'importe quel vecteur de C" que je ne comprends pas

En fait dans notre cas, qu'est-ce que ca veut dire que tout élément X de C peut s'ecrire sous la forme d'une CL des vecteurs de u et v ?

mais ici, c'est la définition même de l'ensemble C

Ok,
donc comment prouver que C est non vide ? (non vide ca veut bien dire qu'il admet le vecteur nul ?)

non vide veut dire qu'il contient quelque chose...u par exemple car 1u+0v est élément de C

alors c'est vrai que normalement, on teste tout de suite le vecteur nul pour les sous espaces vectoriels, car si le vecteur nul n'est pas dans l'ensemble, alors cet ensemble ne peut pas avoir une structure d'ev

Bah dans ce cas on a déja montré qu'il était non vide puisqu'on a et b  comme coefficients non?
J'arrive pas du tout à comprendre... jusque la on a même pas utilisé les vecteurs de l'enoncé on a fait quoi en fait ?

Et je fais comment pour montrer que le vecteur nul existe dans C ?
0u +0v = 0C ?

effectivement 0u+0v=vecteur nul

C'est tout ? Aussi simple que ca ?
Du coup on conclu en disant que C est stable pour la somme et l'homothétie et qu'il admet le vecteur nul donc qu'il est un sous espace vectoriel de R^3 ? Donc un espace vectoriel.

tu dis d'abord qu'il est non vide car contient le vecteur nul

puis la stabilité (car ça sert à rien d'étudier la stabilité sur un ensemble qui serait vide !...)

Oui pourquoi vous dites comment ?

je dis stable par multiplication par un scalaire

Ca revient au même
Sinon on a répondu à la 1ere question la ?

Ok merci ! =)
Pour la 2e question c'est une sorte de généralisation ?

Par exemple on prend les vecteurs


Et on montre la même chose avec a, a', b et b' ?

oui, et comme à aucun moment, dans la question 1, on s'est nous servis des valeurs données à u et v...c'est que c'est généralisable....

Ok je pense avoir pigé !
Merci pour la patience ! ^^