Niveau Licence Maths 1e ann

Sommes et séries

Posté par
G-ri 15-11-09 à 11:18

Bonjour, j'ai du mal avec cet exercice; j'espère que vous pourrez m'aider

On définit par

$= \Bigsum_{k=1}^{+\infty} (\frac{1}{k}-ln(1+\frac{1}{k})) = \Bigsum_{k=1}^{+\infty}(\frac{1}{k}-ln(k+1)+ln(k))$

Sachant que

$\Bigsum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = ln(n) +$ + + $(n)$

où est une fonction tendant vers 0 en $+\infty$

et que

$\frac1k - ln(1+\frac1{k})$ ~ $_{k->+\infty}$ $\frac12 (\frac1k - \frac1{k+1})$

et que

$\Bigsum_{k=n+1}^{+\infty}(\frac1k - ln(1+\frac1{k}))$ ~ $_{n->+\infty}$ $\frac12 \Bigsum_{k=n+1}^{+\infty}(\frac1k - \frac1{k+1})$

comment en déduire que

$\Bigsum_{k=1}^{n}\frac1k = ln(n) +$ $+ \frac1{2n} + \frac1n$ $(n)$

où est une fonction tendant vers 0 en $+\infty$ .

En fait, je ne vois pas comment déduire une égalité d'une équivalence...
Merci de votre aide.

Posté par re : Sommes et séries 15-11-09 à 12:11

Posté par re : Sommes et séries 15-11-09 à 13:17

Bonjour, G-ri

Je donne juste une indication.

$3$ \sum_{k=n+1}^p \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{p+1}$

Donc: $3$ \sum_{k=n+1}^{+\infty} \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)= \frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}+\frac{\beta(n)}{n}$ ...

Posté par re : Sommes et séries 15-11-09 à 14:28

Bonjour,

Oui, mais comment obtenir le "ln" et ?

Posté par re : Sommes et séries 15-11-09 à 17:12

$3$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln(n+1) +\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\ln(k+1)+\ln(k)\right)\ =\ \ln(n+1) +\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)$

Donc:

$3$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln(n+1)+\varphi -\sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\frac{1}{k}-\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)$

C'est la dernière indication que je donne.

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