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Sommes téléscopiques

Posté par
sosointello 05-09-09 à 15:30

Salut a tous, je poste un message ici ayant besoin d'aide pour un calcul sur lequel je n'arrive point a avancer, le voici :
\Bigsum_{k=0}^n\frac{k}{(k+1)!}
Merci pour toute aide que vous pourrez m'apporter.

Posté par
sosointellore : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 15:33

P.S : J'oubliais, mon but etant de simplifier cette somme. Merci

Posté par
robby3re : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 15:35

Salut,

tu peux peut-être écrire 5$ k=\frac{(k+1)!}{k!}-1

Posté par
sosointellore : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 15:49

Merci d'avoir repondu si vite! En remplacant le k du haut par ton expression je n'avance pas plus :/

Posté par
sosointellore : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 15:53

Pour simplifier l'expression k/(k+1)! j'ai tenté d'enlever le k du haut pour en arriver a : 1/(k+1)(k-1)! et la je bloque aussi je n'obtiens jamais une difference ou une somme de 2 fractions (cela etant mon but)

Posté par
robby3re : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 15:54

5$ \Bigsum_{k=0}^n\frac{k}{(k+1)!}=\Bigsum_{k=0}^n \frac{\frac{(k+1)!}{k!}-1}{(k+1)!}=\Bigsum_{k=0}^n \frac{(k+1)!}{k!(k+1)!}-\Bigsum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)!}=\Bigsum_{k=0}^n \frac{1}{k!}-\Bigsum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)!}

principe des sommes télèscopiques...sauf erreur.

Posté par
sosointellore : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 16:07

SUPER!!!!! Merci beaucoup!! en developpant tout cela et en changeant d'indice j'en arrive a la solution = 1- 1/(n+1) = n/n+1, je vais verifier cela avec plusieurs valeurs voir si ca marche.

Posté par
robby3re : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 16:12

c'est correct.

Posté par
sosointellore : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 16:14

Impeccable! Ca marche mais je ne trouve pas comem je l'ai dit plus haut n/(n+1) mais plutot : 1- 1/(n+1)!

Posté par
robby3re : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 16:19

tu trouves 1-\frac{1}{(n+1)!}
il te reste le 2eme terme de la premiere somme et le dernier de la 2eme somme...

Posté par
sosointellore : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 16:22

Je ne vois pas comment tu me dis "il te reste le 2eme terme de la premiere somme et le dernier de la 2eme somme" peux-tu m'expliquer?

Posté par
robby3re : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 16:27

en fait,on a transformé ta somme de départ en deux sommes qui se "télescope".

tu as 5$ \frac{1}{0!}+\fbox{\frac{1}{1!}}+\frac{1}{2!}...\frac{1}{n!}-\(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}+\fbox{\frac{1}{(n+1)!}})\

il tes restera les encadrés.

Posté par
sosointellore : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 16:33

Tout a fait! merci!

Posté par
robby3re : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 16:36

y'a pas de quoi!

Posté par
sosointellore : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 16:44

Au passage j'en profite pour savoir si tu pouvais me confirmer que : 4$\Bigsum_{k=1}^n ln\big(1 +\frac{1}{k}) = ln (n+1) - ln 1

Posté par
robby3re : Sommes téléscopiques 05-09-09 à 16:47

oui,soit ln(n+1) puisque ln(1)=0


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