si z(x)=f(x)-x, alors z'(x)=f'(x)-1 et bien sûr

f(x)=z(x)+x  et f'(x)=z'(x)+1

Si f est solution de (E) alors :

f'(x)+f(x)=x+1

et en remplaçant f(x) et f'(x) par leurs valeur fonction de z(x) et z'(x) on obtient :

z'(x)+1+z(x)+x=x+1

donc : z'(x)+z(x)=0

Merci beaucoup Pythamède!
J'ai compris votre raisonnement. Il suffisait de dériver, mettre en relation, et calculer. Je vais écrire ce cheminement pour m'en souvenir.

comme z'(x) + z(x) = 0 si et seulement si z'(x) = -z(x), on en déduit que k = -1, non?

Pour la question 2)
On a (E') : y' = ky. Or k = -1 donc il faut résoudre y' = -y.

Si on pose W(x) les fonctions solutions de (E'), on a:
W(x) = c*e^(-x)     selon la définition des équations différentielles de la forme y' = ay.
Mais il n'y a pas de conditions particulières sur la fonction, donc je ne peux pas définir la constante.

Je ne suis vraiment pas sur de moi

Etes-vous toujours là?

Bonjour à tous! Je m'appelle adrien, je suis en terminale S, et je suis bloqué sur un exercice portant sur les équations différentielles.

Enoncé:
Soit (E): y' + y = x + 1

1) on pose z(x) = f(x) - x , pour tout réel x où f est solution de (E) sur R. Déterminer la constante réelle k telle que z soit solution de l'équation différentielle (E'): y' = ky.

2) Résoudre (E'), puis en déduire les solutions de (E)
3) soit a un réel. Déterminer la solution Fa de (E) qui vaut a en 0.
4) Déterminer le sens de variations de Fa sur R lorsque a < 0
5) Prouver que, pour tout réel a, la tangente Ta au point d'abscisse -1, à la courbe de Fa, passe par l'origine du repère. »

Voilà... Je ne sais pas vraiment commencer.
On m'a déjà aidé (sans me répondre plus), et j'ai pour la question 1:

si z(x)=f(x)-x, alors z'(x)=f(x)-1 et bien sûr
f(x)=z(x)+x et f'(x)=z'(x)+1
Si f est solution de (E) alors
f'(x)+f(x)=x+1
et en remplaçant f(x) et f'(x) par leurs valeur fonction de z(x) et z'(x) on obtient :
z'(x)+1+z(x)+x=x+
donc : z'(x)+z(x)=0

Après, pour la question 2, je ne comprends pas très bien. Je n'ai aucune coordonnées ni rien pour résoudre l'équation...

J'ai vraiment besoin d'aide.

Merci d'avance !

Adrien

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