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spé math term s: résoudre une équation 9 +a*a avec des congruenc
Voici l'énoncé de mon devoir maison:
On note (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9+a*a (a est au carré mais je n'ai pas trouvé) où a est un entier naturel non nul; par exemple 10= 9+1*1 13=9+2*2
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2,3 ou 5.
1.Etude de l'équation d'inconnue a: a*a+9=2n où a est un entier naturel n un entier naturel et où n est supérieur ou égal à 4.
a)Montrer que si a existe, a est impair.
b)En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.
2.Etude de l'équation d'inconnue a : a2+9=3n, où a est un entier naturel, n un entier naturel et supérieur ou égal à 3.
a)Montrer que si n est supérieur ou égal à 3, 3n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b)Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécesairement n est pair.
c)On pose n=2p, où p est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Déduire d'une factorisation de 3n-a2 que l'équation proposée n'a pas de solution.
3.Etude de l'équation d'inconnue a: a2+9=5n, où a est un entier naturel, n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
a)En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impair.
b)On pose n=2p. En s'insppirant du 2.c), démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a2+9 soit une puissance entière de 5.
J'ai réussi la question 1.a) mais pour les autres questions je n'ai fait que le commencement et je n'arrive pas à aller plus loin ou j'ai fait quelque chose mais mon raisonnement tourne en rond et ne m'avance à rien.
bonsoir,
si a est impair alors
ou
donc ou
donc ou
donc ou
ce qui est absurde car ,
donc pas de solutions dans N
benh les autres ca découle du principe de la première:
2)a)
donc
donc si n est pair
ou si n impair
CQFD
b) donc on a:
ou
par conséquent est impair pour tout
donc si a existe alors doit etre impair
c'est à dire doit etre pair
soit a doit etre pair.
si a est pair alors il existe un entier naturel non nul k tel que a=2k.
on a donc :
or
donc s'écrit sous la forme 4q+1 ,(q entier) c'est à dire
bon j'ai continué mais pour le 2.c) j'ai bricolé un truc et pour le 3.a) je suis bloquée. Voici ce que j'ai commencé:
a2+9=5n
a2+9=52p
a2-52p=-9
(a+5p)(a-5p)=-9
et j'arrive pas à voir à quoi ça me servirait de faire ça et si c'est bien comme ça qu'il faut que je commence quel est le lien avec l'unique entier naturel a qui est solution de l'équation.
2)c)
a est solution =>
donc on a deux cas de figure
car )
soit soit
et les deux systèmes n'ont pas de solution car et
...
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