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spé maths

Posté par
elodie27930 27-05-09 à 20:24

bonjour je n'arrive pas a resoudre cette exercice
soit A B C des points d'affixe respectives a b c Prouver que si O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC alors le point H d'affixe a+b+c est l'orthocentre du triangle ABC
merci pour votre aide

Posté par
dhaltere : spé maths 27-05-09 à 20:36

rappelle-toi Euler : \vec{OG}=\frac13\vec{OH}

Posté par
elodie27930re spe maths 28-05-09 à 17:24

desole mais cela ne m'aide pas

Posté par
dhaltere : spé maths 28-05-09 à 17:57

Connais-tu au moins cette relation ?

La droite d'Euler, ça te dis quelque chose ?

spé maths

l'alignement des points O, G et H ?

quel est l'affixe de G ?

Avec cet affixe et la relation vectorielle que je t'ai rappelée, tu en déduis immédiatement la relation demandée

Posté par
cailloux Correcteurre : spé maths 28-05-09 à 17:57

Bonjour,

Citation :
rappelle-toi Euler : \vec{OG}=\frac13\vec{OH}


A mon avis, cet exercice est proposé justement pour prouver cette relation.

>>elodie27930

Connais-tu l' expression du produit scalaire avec les complexes ?

Posté par
elodie27930reponse 28-05-09 à 18:34

oui c .=xu*xv+yu*yv+zu*zv

Posté par
dhaltere : spé maths 28-05-09 à 18:39

J'attends la suite avec le plus haut intérêt.

Posté par
dhaltere : spé maths 28-05-09 à 18:50

Euh, petite précision pour cailloux : je suis aussi à l'aise avec la démonstration par les complexes de cette propriété, et j'ai l'impression que tu as raison quand tu dis que l'exercice est là pour démontrer l'alignement de O, G et H.
Mais c'est toujours le problème avec les énoncés trop succincts, on ne sait pas ce qu'il faut présupposer et ce qu'il faut démontrer.

Posté par
cailloux Correcteurre : spé maths 28-05-09 à 22:05

Citation :
on ne sait pas ce qu'il faut présupposer et ce qu'il faut démontrer.


J' avais failli écrire "l' oeuf ou la poule?"

Pour elodie27930, l' expression du produit scalaire en complexes:

Soit \vec{u} d'affixe a=x+iy et \vec{v} d' affixe a'=x'+iy'

\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'

Calculons A=a\bar{a'}+\bar{a}a'=(x+iy)(x'-iy')+(x-iy)(x'+iy')

A=xx'+yy'+ix'y-ixy'+xx'+yy'-ix'y+ixy'

A=2(xx'+yy')

Si bien que \fbox{\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}(a\bar{a'}+\bar{a}a')}

Le centre du cercle circonscrit est en O origine du repère donc:

|a|=|b|=|c|

et a\bar{a}=b\bar{b}=c\bar{c}

2\vec{AH}.\vec{BC}=(h-a)\overline{(c-b)}+\overline{(h-a)}(c-b)

Puis avec h-a=b+c:

2\vec{AH}.\vec{BC}=(b+c)(\bar{c}-\bar{b})+(\bar{b}+\bar{c})(c-b)

2\vec{AH}.\vec{BC}=b\bar{c}+c\bar{c}-b\bar{b}-c\bar{b}+c\bar{b}+c\bar{c}-b\bar{b}-b\bar{c}

2\vec{AH}.\vec{BC}=2c\bar{c}-2b\bar{b}=0 car c\bar{c}=b\bar{b}

\vec{AH}.\vec{BC}=0

On en déduit que (AH) est une hauteur du triangle ABC

On montrerait de même que (BH) est une hauteur du triangle ABC

H est donc l' orthocentre du triangle ABC

Mais je doute que ce soit la solution attendue...

Posté par
elodie27930remerciement 28-05-09 à 22:19

merci a tous pour votre si j'ai la correction de l'exercice je la metterai en ligne


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