Bonjour à tous ! J'ai un DM de spé maths à faire et je n'y arrive pas du tout...

Voici le sujet :

Le but de l'exercice est d'étudier la primalité de l'entier N = 2¹⁷ -1
On admet la proposition suivante : si p est un nombre premier impair, alors 2^p-11(mod p)
1.a. Controler la véracité de cette proposition pour p=5 et p=7
b. Soit k un entier et n un multiple de k, montrer que si 2^k1 (mod p) alors 2ⁿ1 (mod p)

Soit p un facteur premier éventuel de N.
2.a. Montrer que p est impair et que 2¹⁷1 (mod p)
b. Soit b le plus petit entier naturel non nul tel que 2^b1(mod p), soit n un entier naturel tel que 2ⁿ1 (mod p). Montrer que n est un multiple de b.(utiliser la division euclidienne de n par b)
c. En déduire que b divise 17 puis que b=17
d. En déduire que p-1 est un multiple de 17
e. Expliquer pourquoi il suffit de chercher p sous la forme 34m +1 ou m est un entier naturel

Les nombres premiers congrus à 1 modulo 34 et inférieurs à 400 sont 103, 137, 239 et 307
3. L'entier N est il premier ?

Mes réponses :
1.a. Pour p=5, 2^5-1=16 et 161 (mod 5)
pour p=7, 2^7-1=64 et 641 (mod 7)
b. n est un multiple de k donc il existe q tel que n=qk
2^k1(mod p)
(2^k)^q1^q(mod p)
2^qk1(mod p)
2ⁿ1(mod p)

2.a. N est impair donc 2 n'est pas un de ses facteurs premiers. 2 étant le seul nombre premier pair, p est impair.
p est un facteur premier de N donc
N0(mod p)
2¹⁷-10 (mod p)
2¹⁷1 (mod p)

Pour le reste je ne sais pas comment procéder ! Je n'arrive pas à conclure avec ce que je fais au brouillon
Merci de votre aide !

Marc