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Spé maths

Posté par chaize (invité) 28-10-06 à 08:00

Bonjour,
On nous donne l'entier n=200
on nous demande de déterminer les diviseurs positifs de n et je trouve 12 diviseurs
Ensuite on nous dit soit N le nombre de diviseurs de n et P le produit de ces diviseurs. vérifier la relation n (puisance N)=P²
Ce que j'ai fais est que j'ai poser P=produitdes diviseurs et ensuite je trouve que P=200(puissance N)/K  ou K=egalement au produit des diviseurs ainsi K=P et je pose P=200(puissance N)/K d'ou P²=n (puissance N)
Mais y a t-il un moyen plus simple et plus clair pour prouver cette relation svp ? merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 08:05

Bonjour,

Je ne comprends pas l'énoncé.
On te demande de vérifier cette relation dans le cas particulier n=200, ou de la démontrer dans le cas général ?

Nicolas

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 28-10-06 à 08:07

De le démontrer pour n=200 seulement

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 08:09

Dans ce cas, calcule la valeur numérique de n^N et P². Quel est le problème ?

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 28-10-06 à 08:17

Ah d'accord c'est simplement ça qu'il faut faire! merci

Et après lorsqu'on me dit soit l'entier n=2(puissance a) *5(puissance b) montrez que le nombre de diviseurs de n est N=(a+1)(b+1) je remplace également par les valeur numériqe ou pas si je sais que a=3 et b =2 svp? merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 08:19

Vu ce que tu dis, il ne faut pas remplacer a et b par leur valeur. Il faut démontrer dans le cas général, avec a et b.

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 28-10-06 à 08:24

C'est bien ce que j'ai essayé de faire, j'essais de passer par les congruences mais je n'y arrive pas vous n'auriez pas une piste svp?

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 28-10-06 à 08:24

Je pense que l'on devrait se servir de la relation trouvée au début non?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 08:25

Ce n'est pas la peine.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 08:25

Indice : regarde, au brouillon, comment construire les diviseurs de 2^a*5^b

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 28-10-06 à 08:33

je pense à cela mais ca ne m'avance à rien

2^a=2k       ou a compris entre 1 et N

5^b=5k        ou b est compris entre 1 et N

Je continue à y réfléchir  

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 08:37

2^a5^b est la décomposition en facteurs premiers de n
Tout diviseur de n s'écrit donc : 2^m5^q où 0\le m\le a et 0\le q\le b
Donc... combien de diviseurs existe-t-il ?

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 28-10-06 à 08:41

Ou alors 2^a=2*2*2...2(a)
            a*P ou P est le produit des  2
   et on ferait la même chose pour 5

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 08:42

... 8h37 ...

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 28-10-06 à 08:43

Dsl j'avais posté mon post avant je viens juste de lire ce que vous avez écrit je cherche .. merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 08:44

2^a5^b est la décomposition en facteurs premiers de n
Tout diviseur de n s'écrit donc : 2^m5^q où 0\le m\le a et 0\le q\le b
Pour construire un diviseur de n, il faut donc :
- choisir la valeur de m : on a ??? façons de le faire
- choisir la valeur de q : on a ??? façons de le faire
Donc le nombre de diviseurs de n est...

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 28-10-06 à 08:48

Püisque m<a on aura 2^(a-1) et puisque g<b on aura 5^(b-1)
Ainsi il existe (a-1)(b-1) diviseurs mais j'ai du me trompé car on doit trouver des "+"...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 08:51

2^a5^b est la décomposition en facteurs premiers de n
Tout diviseur de n s'écrit donc : 2^m5^q où 0\le m\le a et 0\le q\le b
Pour construire un diviseur de n, il faut donc :
- choisir la valeur de m dans \{0, 1, ..., a\} : on a a+1 façons de le faire
- choisir la valeur de q dans \{0, 1, ..., b\} : on a b+1 façons de le faire
Donc le nombre de diviseurs de n est (a+1)(b+1)

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 28-10-06 à 08:56

Ah d'accord merci! On peut mettre a+1 car on commence à partir de 0 non? Tout à l'heure je n'avais pas vu que le signe étai supérieur ou égal je pensais que c'était strictement supérieur ou strictement inférieur . Merci encore!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 08:59

Citation :
On peut mettre a+1 car on commence à partir de 0 non?
En effet.

Je t'en prie.

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 28-10-06 à 09:32

J'ai encore un petit problème!
On me demande de calculer P ce que j'ai fais avec les valeurs que j'ai trouvé et ensuite on me demande si la relation n^N=P² est tjr vrai.
J'ai essayer de remplacer n par 2^a*5^b et N par (a+1)(b+1) mas je ne pense pas que ce soit comme ça que l'on doit faire car j'arrive à ça:
         2^(ba²a²+ab+a)*5^(ab²+ba+b²+b)
Et je ne sais pas du tout quoi en faire pour savoir si c'est égal ou non à p².
Merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 09:49

3$\begin{array}{rcl} \\ P^2 &=& \left(\Bigprod_{0\le m\le a\\0\le q\le b}2^m5^q\right)^2\\ \\ &=& \left(\Bigprod_{0\le m\le a\\0\le q\le b}2^m\;\times\;\Bigprod_{0\le m\le a\\0\le q\le b}5^q\right)^2\\ \\ &=& \left(\left(\Bigprod_{m=0}^a2^m\right)^{b+1}\left(\Bigprod_{q=0}^b5^q\right)^{a+1}\right)^2\\ \\ &=& \left(\left(2\^^{\Bigsum_{m=0}^am}\right)^{b+1}\left(5\^^{\Bigsum_{q=0}^bq}\right)^{a+1}\right)^2\\ \\ &=& \left(\left(2\^^{\frac{a(a+1)}{2}}\right)^{b+1}\left(5\^^{\frac{b(b+1)}{2}}\right)^{a+1}\right)^2\\ \\ &=& 2^{a(a+1)(b+1)}\times 5^{b(a+1)(b+1)}\\ \\ &=& \left(2^a5^b\right)^{(a+1)(b+1)}\\ \\ &=& n^N \\ \end{array}

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 28-10-06 à 09:54

Oh merci d'avoir fait tous ces calculs j'essaie de comprendre...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 09:57

Je t'en prie.

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 28-10-06 à 10:06

cela signifie bien le produit?
Je ne comprend pas trop la 3eme, la 4eme et la 5eme lignes car nous n'avons pas trop appris à manipuler et . Pouvez-vous m'expliquer un peu si ça ne vous derrange pas.

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 28-10-06 à 10:13

Pourquoi doit-on élever à a puisance b+1 et a+1 svp?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 11:29

3$\begin{array}{rcl} \\ P^2 &=& \left(\Bigprod_{0\le m\le a\\0\le q\le b}2^m5^q\right)^2\\ \\ && \mathrm{(associativite\ de\ la\ multiplication)}\\ \\ &=& \left(\Bigprod_{0\le m\le a\\0\le q\le b}2^m\;\times\;\Bigprod_{0\le m\le a\\0\le q\le b}5^q\right)^2\\ \\ &=& \left(\Bigprod_{m=0}^a\Bigprod_{q=0}^b2^m\;\times\;\Bigprod_{m=0}^a\Bigprod_{q=0}^b5^q\right)^2\\ \\ && (\mathrm{or\ }2^m\mathrm{\ ne\ depend\ pas\ de\ }q\mathrm{\ et\ }5^q\mathrm{\ ne\ depend\ pas\ de\ }m)\\ \\ &=& \left(\left(\Bigprod_{m=0}^a2^m\right)^{b+1}\left(\Bigprod_{q=0}^b5^q\right)^{a+1}\right)^2\\ \\ &=& \left(\left(2\^^{\Bigsum_{m=0}^am}\right)^{b+1}\left(5\^^{\Bigsum_{q=0}^bq}\right)^{a+1}\right)^2\\ \\ &=& \left(\left(2\^^{\frac{a(a+1)}{2}}\right)^{b+1}\left(5\^^{\frac{b(b+1)}{2}}\right)^{a+1}\right)^2\\ \\ &=& 2^{a(a+1)(b+1)}\times 5^{b(a+1)(b+1)}\\ \\ &=& \left(2^a5^b\right)^{(a+1)(b+1)}\\ \\ &=& n^N \\ \end{array}

Posté par
Skopsre : Spé maths 28-10-06 à 11:48



(Merci Estelle)

Skops

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 11:49

Bonjour au LaTeX-fan club !

Posté par
_Estelle_re : Spé maths 28-10-06 à 11:52

Félicitations pour ton LaTex, Nicolas

Estelle

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 28-10-06 à 11:53

Merci.

Posté par
Skopsre : Spé maths 28-10-06 à 11:53



Skops

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 29-10-06 à 18:47

Bonsoir,
Il se trouve que la dernière question de cet exercice est de déterminer l'entier n, de la forme 2^a*5^b, sachant que P=20^42.
Comme P est différent du P précédent je pense qu'il nous demande de chercher un autre n .
Ainsi j'ai essayer en utilisant toutes les relations trouvées précédement mais je n'arrive à rien j'ai même essayé d'utilser la fonction racine mais je ne vois pas comment fair est-ce que quelqu'un pourrait m'aider svp ? merci d'avance

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 29-10-06 à 18:48

Ah et merci beaucoup pour cette réponse antérieur!!!!

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 29-10-06 à 20:14

Je vous en supplis est-ce quelqu'un pourrait m'aider svp,je ne vois pas comment faire merci

Posté par chaize (invité)spé maths 29-10-06 à 21:00

Bonsoir, excusez moi de faire un 2ème post mais j'ai vraiment un gros problème avec la dernière partie de l'exercice du même nm est-ce que quelu'un pourrait m'aider svp?merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
pgeodre : spé maths 29-10-06 à 21:01

fais remonter ton post précédent.

...

*** message déplacé ***

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 29-10-06 à 21:21

Voila c'est celui là merci de votre aide

Posté par chaize (invité)re : spé maths 29-10-06 à 21:41

Voila j'ai remonté mon post merci de votre aide

*** message déplacé ***

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 29-10-06 à 21:42

...

Posté par chaize (invité)re : spé maths 29-10-06 à 22:11

Svp pouvez vous m'éclairer si vous avez une idée merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 29-10-06 à 22:11

...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 30-10-06 à 07:21

On a vu dans le calcul précédent que :
P^2=2^{a(a+1)(b+1)}\times 5^{b(a+1)(b+1)}
donc
P=2^{\frac{a(a+1)(b+1)}{2}}\times 5^{\frac{b(a+1)(b+1)}{2}}

Or P=20^{42}=2^{84}5^{42}

Par unicité de la décomposition en facteurs premiers, on peut identifier :
\left\{\begin{array}{rcl} \\ \frac{a(a+1)(b+1)}{2} &=& 84\\ \\ \frac{b(a+1)(b+1)}{2} &=& 42 \\ \end{array}\right.

Deux équation. Deux inconnues. A toi de jouer !

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 30-10-06 à 17:28

Ah merci beaucoup pour cette aide apart que je ne comprend pas trop le passage de la 1ere ligne à la 2eme mais je n'avais pas reussi cette identfication merci encore!!

Posté par chaize (invité)re : Spé maths 30-10-06 à 20:33

Je trouve donc a=6 et b=3 d'où n=8000 espérons maintenant que c'est bien ça merci encore!!!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Spé maths 31-10-06 à 01:02

Le passage de la première à la 2ème ligne se fait en prenant la racine carrée. Tu sais que cela revient à diviser les exposants par 2 : \sqrt{2^6}=2^3

Je t'en prie.


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