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Spé maths : divisibilité (p^m)(q^n)

Posté par gastonflingueur (invité) 06-10-07 à 21:17

Bonjour à tous voici mon premier message sur ce forum. Alors je vous passe l'énoncé pour ne pas perdre de temps :
a=(p^m)(q^n) où p et q sont 2 nombres premiers distincts.
Montrer que la somme des diviseurs de a est : [((p^m+1)-1)/(p-1)]*[((q^n+1)-1)/(q-1)]
et là je pensais à la somme des termes d'une suite mais comment définir (Un) alors ? Bref je suis dans le flou. Merci de votre aide !!

Posté par re : Spé maths : divisibilité (p^m)(q^n) 06-10-07 à 22:31

Bonsoir,

La liste des diviseurs de $a$ :

$1,p,p^2\cdots p^m$
$q,q^2\cdots q^n$
$pq,pq^2,\cdots pq^n$
$\vdots$ $\vdots$
$p^nq,p^nq^2\cdots p^mq^n$

d' où $S=1+p+p^2+\cdots+p^m+q(1+p+p^2+\cdots+p^m)+q^2(1+p+p^2+\cdots+p^m)+\cdots +q^n(1+p+p^2+\cdots+p^m)$

$S=(1+p+p^2+\cdots+p^m)(1+q+q^2+\cdots+q^m)$

On voit apparaître 2 sommes de termes consécutifs de suites géométriques dans les parenthèses...

Posté par gastonflingueur (invité)re : Spé maths : divisibilité (p^m)(q^n) 06-10-07 à 22:37

2 sommes de termes consécutifs dont je connais les formules je vais réfléchir à ça demain merci beaucoup pour ta rapidité!!!

Posté par re : Spé maths : divisibilité (p^m)(q^n) 06-10-07 à 22:44

De rien, mais une fôte de frappe :

$S=(1+p+p^2+\cdots+p^m)(1+q+q^2+\cdots+q^n)$

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