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Spé maths: système et bases
Tout d'abord bonjour!
J'ai un exercice et impossible de le faire ou même de trouver de l'aide .
J'ai compris en gros le principe des systèmes et des bases mais de la à réussir cet exercice c'est pas gagné !
Si quelqu'un pouvait m'aider ça serait sympa
Je dois démontrer les propriétés suivantes sachant que a = an x 10n+an-1 x 10n-1+….+a1 x 10+a0
Et ° repésente le signe "congrue" et S représente sigma soit la somme des ai
1) aºa0 (2)
2) aº S ai (3) (ou n>i>0)
3) aº 10 x a1 + a0 (4)
4) aºa0 (5)
5) aº S ai (9) (ou n>i>0)
6) aº S ai - S ai (11) (ou n>i>0)
i pair i impair
Puis déduire de chacune de ces propriétés un critère de divisibilité énoncé sous forme d'une phrase et donner dans chaque cas un ou deux exemples significatifs .
J'éspère que vous pourrez m'aider
merci d'avance 
salut
1)montrons que a est congru à a0modulo 2 :
ona: a=an10n+an-110n-1+...+10a1 + a0
Mettons 2 en facteur dans tous les termes jusqu'a 10 a1, on obtient:
a = 2( 5.10n-1an+5.10n-2an-1+....+5 a1) + a0
on passe au congruence modulo 2
2( 5.10n-1an+5.10n-2an-1+....+5 a1) 
0 [2]
donc: a a0 [2]
conclusion: un nombre a ecrit dans le systeme de numeration decimale sous la forme: a=an10n+an-110n-1+...+10a1 + a0 est divisible par 2(ou est pair)ssi
a0 (qui represente son chiffre d'unite )est pair .
(resultat que l'on connait deja )
tu peux faire une autre formulation en remplaçant pair par impair
exemple : 10025478651 1[2]
on a : 10 1 [3] , donc : 10i1[3] pour tout i / 0 
in
donc:a an+an-1+....+a0[3]
d'ou le resultat
comme critere , on peut dire q'un un nombre a ecrit dans le systeme de numeration decimale sous la forme:
a= an10n+.....+10a1+a0est divisible par 3 ssi la somme de ses chiffres est un multiple de 3
exemple : a= 452178932100051
la somme des chiffres de a est 48 qui est congru à 0 modulo 3, donc a est divisible par 3
Bonjour à vous deux
Je te fais la 6 :
On a 10-1 mod 11 donc:
a .
Comme (-1)n=1 si n est pair et -1 si n est impair, il reste tous les termes d'indices n pair, et les opposés des termes d'indices impairs, soit:
a .
Conclusion: un entier a est divisible par 11 ssi cette différence de sommes est un multiple de 11.
Ex: dans 979, a0=9, a1=7, a2=9. La somme des termes d'indices pairs est a0+a2=18. La somme des termes d'indice impair est 7. La difference vaut 11 donc 979 est divisible par 11.
EX: dans 435869, la somme des pairs est 9+8+3=20 et ceux des impairs 6+5+4=15.
LA différence des deux sommes est 20-15=5 qui n'est pas multiple de 11, donc 435869 n'est pas divisible par 11.
Ex: 495 est divisible par 11 puisque (5+4)-9 = 0 est divisible par 11.
Tigweg
pour tout entier naturel n 
2 , on a:
10n= 10² x 10n-2
= 4 x 5² x 10n-2
10n-1= 4x5² x 10 n-3
.......
10² = 4x5²
donc: a = 4x5²(an10n-2+an-110n-3
+....+a2)+10 a1+ a0
en passant au congruende modulo 4 , on :
a 10 a 1 +a 0
conclusion: un nombre a ecrit dans le systeme de numeration decimale sous la forme: a = ..... est divisible par 4 ssi le nombre forme par le chiffre d'unite et de dizaine est divisible par 4
exemple : 130044 est divisible par 4 car 44 est divisible par4
salut Tigweg et merci pour la resolution de la question 6
lolie, tu peux maintenant essayer de faire la ques 4 et 5
et tu nous envois tes essais
Salut Aziztanda, merci à toi pour les autres!
Avec ça, lolie16 devrait comprendre le principe!
Tigweg
Merci beaucoup mais en fait j'ai réussi à le faire (enfin j'ai essayer et je l'ai deja rendu)
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