Bonjour
tu es sur de l'énoncé ? car pour n=2, 3 ne divise pas n cube....

ha heu mince j'ai fait une erreur de frappe c'est ça :

n désigne un entier naturel.
a = n²(n²-1)(n²+1)
1.a)Pourquoi 3 divise-t-il n³-n ?
b) Pourquoi 5 divise-t-il n⁵-n?
2. Démontrer que les entiers naturels n³-n et n⁵-n sont des diviseurs de a. En déduire que a est divisible par 3 et par 5.
3.a) Démontrer que n² est congru à 0, ou à 1, ou à -1 modulo 4.
b) En déduire que a est divisible par 4.
4. Démontrer que a est divisible par 15 puisqu'il est divisible par 60.


merci

1a : n cube - n = n(n² - 1) = (n-1)n(n+1)
sur ces trois nombres que se suivent, il y a forcément un multiple de 3....
Tu t'en inspires pour 1b) ?

ha merci!!
Donc pour la b :
n⁵-n =  n ( n⁴-1) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
sur ces cinq nombres que se suivent, il y a forcément un multiple de 5....

c'est ça?

après pour la question 2, j'ai essayé de développer a = n²(n²-1)(n²+1) et je tombe sur n⁶-n² mais je vois pas le rapport avec la question :s
Donc à mon avis il doit pas falloir développer mais du coup je vois pas ce qu'il faut faire

n⁴-1 = (n²-1)(n²+1)=(n-1)(n+1)(n²+1)
On n'a que trois nombres qui se suivent pas 5.
On va faire autrement.
remplis un tableau avec dernier chiffre de n dans la première ligne, et dernier chiffre de n^5 dans la deuxième. Que constates tu ?

(par quel chiffre se terminera n⁵-n ?)

pour la 2 : a = n²(n²-1)(n²+1)
= n(n³-n)(n²+1)
et aussi a = n²(n⁴-1)
= n(n⁵-n)

heu mais là c'est pas n⁴-1 mais n⁵-1 qu'on nous demande :s

heu j'ai pas compris comment vous vouliez que je fasse le tableau :s

Merci beaucoup de m'expliquer lafol

n^{5-n = n ( n[sup]4}-1) = (n-1)n(n+1)(n²+1)[/sup]

n⁵-n = n ( n⁴-1) = (n-1)n(n+1)(n²+1)

ha oui put** que je suis co* pour la 2!!! J'y étais presque j'ai développé entièrement le résultat alors qu'il fallait ne développer qu'un partie!!!

Merciiiiiiiiiii

tu as écrit : n⁵-n =  n ( n⁴-1) = (n-1)n(n+1)(n²+1)
sur ce point là je suis OK par contre je vois toujours pas pourquoi c'est divisible par 5 :s

c'est pour ça que je te suggère de regarder par quel chiffre peut se terminer : si c'est 0 ou 5, c'est gagné ...

question 2) cé fait ou tu veux une explication

ok ok
donc voila :
1⁵-1 = 0
2⁵-2 = 30
3⁵-3 = 240
4⁵-4 = 1020
5⁵-5 = 3120
6⁵-6 = 7770
7⁵-7 = 1680
8⁵-8 = 32760
9⁵-9 = 387420480

Tu as raison, c'est bien un multiple de 5 car ça fini par 0 mais maintenant pour le prouver :s

kml2006 si tu as une bonne explication à me donner, ce n'est pas de reffu!!!
Je l'ai faite grace à lafol mais y me manque un ti truc pour n⁵-n

il suffisait du dernier chiffre ....
tu sais depuis l'école primaire que les multiples de 5 se reconnaissent à ce que leur dernier chiffre est 0 ou 5, non ?
sinon, tu peux utiliser des congruences modulo 5

ouais je sais que je pouvais mettre que le dernier chiffre ^^
ha oui on peut utiliser modulo de 5
mais il faut expliquer pourquoi n5-n = ché pas combien ( mod 5 )   ou c'est pas la peine?

ché pas combien = 0....
avec les derniers chiffres, ça revient un peut au m^me
les modulo permettent de ne calculer que de 0 à 4 ....

un peu

a = n²(n²-1)(n²+1)= n²( n^4-1)= n(n^5-n)

tu vois que a est un multiple de n^5-n ce qui singifie que n^5-n divise a

voir le post de 16:12

ouais bon donc n⁵-n = 0 ( mod 5 )

merci lafol !!!

heu si tu pouvais m'aider encore pour la fin de l'exo...

ps : c'est vraiment très très très sympas de m'aider

ha mais là j'y pense on s'en foutait en fait de ça je crois!!!!
je fait un récapitulatif de ce qu'on a dit et je le poste!!!

RECAPITULATIF :


1 . a) n³  - n = n(n² - 1) = (n-1)n(n+1)
Ces trois nombres se suivent, il y a forcément un multiple de 3...

b)n⁵-n =  0 ( mod 5 )
5 divise donc  n⁵-n



2. a = n²(n²-1)(n²+1) =  n(n³-n)(n²+1) donc a est divisible par n³-n.
a = n²(n⁴-1) = n(n⁵-n)  donc a est divisible par n⁵-n.
Comme 3 divise  n³-n , et que  n³-n divise a , alors a est divisible par  n³-n.
Comme 5 divise  n⁵-n , et que  n⁵-n divise a , alors a est divisible par  n⁵-n.


Par contre la 1. b)  c'est bizar non???


En tout cas merci

heu pour la suite vous pouvez m'aider aussi svp

Salut !
Pour la 1)b c'est démontrable par récurrence ! Tu peux utiliser le triangle de Pascal pour trouver (1+n)^5, ou tout développer (un peu plus dur !).

"Tu peux utiliser le triangle de Pascal pour trouver (1+n)^5"

heu comment!! Je sais me servir du triangle de pascal mais là...

Pour la 3.a), tu poses n=2k, tu trouves n^2=4k^2 = 0 (mod 4);
en posant n=2k+1 tu trouves n^2=1 (mod 4).

pour 1b) c'est bien celà mais il faut prouver ce que tu affirmes!

au fait, si tu as vu le "petit théorème de Fermat" , c'est direct...

pour finir 2a) 3 et 5 sont premiers entre eux et 3 et 5 divisent....

3a) disjonction de cas :
* si n=0(mod4) alors n²=..(mod4)
* si n=1(...
* si n=2
* si n=3....

Le triangle de Pascal te donnes les coefficients devant les nombres.
On a (si je ne me trompe pas) (n+1)^5= n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1 tu veux montrer que (n+1)^5=n+1 (mod 5) il suffit de soustraire n+1.

garnouille

ha oui maintenant que tu le dis oui j'ai vu le petit théorème de fermat.
1.b)b)En utilisant le théorème de fermat on peut dire que :
n⁵-n =  0 ( mod 5 )
5 divise donc  n⁵-n

3a) disjonction de cas :
* si n=0(mod4) alors n²=0(mod4)
* si n=1(mod4) alors n²=1(mod4)
* si n=2(mod4) alors n²=0(mod4)
* si n=3(mod4) alors n²=-1(mod4)

Heu pour la 2.b) Comme n² = 0 (mod 4) ou n²=1 (mod 4) ou n²=-1 (mod 4)
On peut dire que n² + 0 ou n²+1 ou n²-1 est divisible par 4  donc a est bien divisible par 4.

C'est bien ça non?

3²=9  et 9=1(mod 4)

Pour utiliser le petit théorème de Fermat, je pense que tu dois distinguer le cas où PGCD(n,5)=1.

C'est juste pour être exact ! Lorsque PGCD(n,5)=5 c'est démotré aussi !

garnouille

ha oui mince n=3(mod4) alors n²=1(mod4)
par contre le -1 (mod 4) on le trouve ou???


CathrX

pour PGCD(n,5)=1   n peut avoir plusieur valeur...

Oui, n=5k+1; 5k+2; 5k+3 ou 5k+4.

Je crois qu'on n'a jamais n^2=-1 (mod 4) !!

donc pour la 1.b) je met ça :
Pour PGCD(n,5)=1 , n=5k+1; 5k+2; 5k+3 ou 5k+4
*n⁵-n = (5k+1)⁵-5k+1 = ...
*n⁵-n = (5k+2)⁵-5k+2 = ...
*n⁵-n = (5k+3)⁵-5k+3 = ...
*n⁵-n = (5k+4)⁵-5k+4 = ...
En utilisant le théorème de fermat on peut dire que :
n⁵-n =  0 ( mod 5 )
5 divise donc  n⁵-n

ouais c'est bisar pour n² = -1 (mod 4)

ok ok garnouille

heu par contre tu pourais m'aider pour les 2 dernières questions stp!!! :s

lesquelles ?

a = n²(n²-1)(n²+1)
si n²=1(mod4) alors n²-1=....
tu pourrais te creuser un peu!...

4- a est divisble par 3,4 et 5 qui sont premiers entre eux donc......

ha ok ok pour la b merci

ha oui en plus la 4 j'y avais pensé mais me suis dit non c'est pas ça ^^
merci bcp garnouille

Ca y est mon exo est fini et j'ai tout compris!!!
Je tiens avant de partir à dire un grand merci à :
- lafol
- CathrX
- garnouille

:):):):):):):)