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spécial congruences

Posté par
James bond 01-06-09 à 15:28

Bonjour, je suis en pleine période de révision pour le bac et il ne me reste que l'arithmétique et en particulier les congruences avant d'être vraiment à l'aise sur l'étendue du programme.
or l'arithmétique me gène un peu...

j'aimerai donc pouvoir bénéficier de votre aide précieuse sur quelques petites questions sur les congruences afin d'en déduire une trame, une méthode.
merci d'avance.

1) Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de 4^2002.

Posté par
Camélia Correcteurre : spécial congruences 01-06-09 à 15:33

Bonjour

Les congruences sont modulo 7.
Tu commences par 4^2\equiv 2 et 4^3\equiv 1, donc 4^{3q}\equiv 1 pour tout q. De plus 2002=667\times 3+1
4^{2002}=(4^3)^{667}\times 4 et 4^{2002}\equiv 4

(Ca leur couterait cher de demander 4^{2009}?

Posté par
pythamedere : spécial congruences 01-06-09 à 15:33

Fais quelques essais :

Le reste de la division euclidienne de 4^1 par 7 est : ...
Le reste de la division euclidienne de 4^2 par 7 est : ...
Le reste de la division euclidienne de 4^3 par 7 est : ...
Le reste de la division euclidienne de 4^4 par 7 est : ...
Le reste de la division euclidienne de 4^5 par 7 est : ...
Le reste de la division euclidienne de 4^6 par 7 est : ...
Le reste de la division euclidienne de 4^7 par 7 est : ...
Le reste de la division euclidienne de 4^8 par 7 est : ...

Remarques-tu quelque chose ?

Posté par
James bondre : spécial congruences 01-06-09 à 15:38

j'imagine qu'on va tomber sur une sorte de période. attends, je fais les calculs.

Posté par
James bondre : spécial congruences 01-06-09 à 15:45

pour les restes j'ai: 3 ; 6 ; 1 ; 4 ; 2 ; 1 ; 4

Posté par
James bondre : spécial congruences 01-06-09 à 15:54

ok je vois le principe de cet exercice. j'obtiens à la fin 4 comme reste.


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