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Spécialité
Bonjour j'ai un dm de spécialité à faire et je bloque ! Alors si vous pouviez m'aider !
Voila mon ennocé :
1) a] Déterminer pour les premières valeurs de l'entier naturel n non nul, le reste de la division euclidiennne de 7n par 9
b] Montrer que pour tout entier naturel k non nul, 73k
1[9] , 73k+17[9] , 73k+24[9]
c] Montrer que 20057[9]
d] Démontrer alors que 200520057[9]
2)a] Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 10n1[9]
b] On désigne N un entier naturel évrit en base de 10 ; on désigne par S la somme de ses chiffres. Démontrer que NS[9]
c] En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par P
3) On note A=20052005, on désigne par :
B, la somme des chiffres de A
C, la somme des chiffres de B
D, la somme des chiffres de C
a] Démontrer que AD[9]
b] Sachant que A < 10 000 , démontrer que A s'écrit en numérotation décimale avec au plus 8 020 chiffres. En déduire que B < 72 180
c] Démontrer que C
45
d] En étudiant la liste des entier inférieurs à 45, détermiber un majorant de D plus petit que 15.
e] Démontrer que D=7
Donc j'ai commencé à le faire voilà mes résultats :
1)a] 70= 9*0 +1
71= 9*0 +7
72= 9*5 +4
73= 9*38 +1
74= 9*266 +7
75= 9*1867 +4
b] 731(9) car 73-1 = 9*5
Donc 73k1k[9]
73k1[9]
73k1[9]
73k+11*7[9]
73k+17(9]
73k+17[9]
73k+1+17*7[9]
73k+249[9] or 72 =9*5 +4
73k+24[9]
c] 2005 = 9*222 +7
Donc 20057(9]
d] Par contre la je ne comprend pas parceque si on rajoute exposant 2005 il faut le faire des 2 côtés
Donc ça ferait : 2005200572005[9]
Et là ça ne correspond plus!
2)a] 100 = 9*0 +1
101 = 9*1 +1
102 = 9*11 +1
Donc 101[9]
10n1n[9]
10n1[9]
b] Là non plu je ne comperend pas comment faire comme on ne connait pas le nombre N
c]
3) Pour le 3) je ne comprend pas comment on peut trouver le nombre de chiffre de A, donc pour la suite je peut pas le faire !!
Merci d'avance pour l'aide !!
Coucou,
Pense à la question b) :
A quoi est congru 2005 modulo 3 ?
Que peut on alors dire de 72005 modulo 9 ?
Bonjour!,
Eh bien 20051[3]
7200512005[3]
720051[3]
Mais là c'est modulo 3 et pas modulo 9 ?
Je ne vois pas vraiment comment faire avec ça !
En fait il faut vraiment utiliser le petit b) : si 2005 est congru à 1 modulo 3 alors 2005 s'écrit 3k+1 !
Désolé mais là je ne comprend vraiment pas ce que tu veux dire..
Ok, je détaille... 
On a que 2005 7 [9] donc 20052005 72005 [9]
Or 2005 est de la forme 3k+1 et alors selon le b) 72005 7 [9]
D'où 20052005 7 [9]
Oui mais ce que je ne vois pas vraiment c'est pourquoi 2005 est de la forme 3k+1
Est ce que c'est parceque 73k+17[9], et que aussi 20057[9] ?
Tu m'as dit que 2005 est congru à 1 modulo 3.
C'est exactement la même chose que de dire qu'il existe un k tel que 2005 = 3k + 1 (avec ici k= 668)
Oui oui d'accord ça y est j'ai compris !!!! c'est pas trop tôt !
Donc maintenant au 2) b), si vous pouviez m'expliquer un petit coup ...
Je pense qu'il faut surement ce servir de la question précédente mais là ...
Enfin il y a le fait que comme N s'écrit en base de 10, c'est de la forme :
a*10n+2 + b*10n+1 + c*10n+ d
Et que 10n1[9].
Mais je ne vois pas exactement comme faire parceque on ne sais pas le nombre de chiffre de N...
bonjour
dans la base 10 N=
comme pour tout k € N/(0) (9)
et par les propriétés des congruences:
N(9)
donc NS(9)
bon courage
Bonjour,
Est ce qu'on peut faire en rédigeant comme cela ? :
N=an10n + an-110n-1 +....+ a110 + a0
1001(9) a0100a0(9)
101(9) a1101a1(9)
1021(9) Donc a2102a2(9)
. .
. .
. .
10n1(9) an10nan(9)
an10n+..+a110+a0 (a0+a1+...+an)[9]
Or S=a0+a1+...+an
Donc NS(9)
Voilà !
Maintenant je vais reréfléchir à la question suivante 
Bonjour ! ,
Merci bien pour l'aide cva !
Pour la question 2 c) qui est la suivante :
En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.(escusez moi je m'étais trompé en tapant l'ennocé j'avais mis P à la place de 9 !)
Est ce qu'on part de la définition de la congruence, c'est à dire que dans le cas de la question précédente :
N et S ont le même reste dans la division euclidienne par 9. Et pour que S soit divisible par 9 il faut que son reste soit 0.
Donc si le reste de la division euclidienne de S par 9 est de 0 celui de N dans la division euclidienne par 9 est aussi de 0, puisque NS(9)
:?
bonjour
N est divisible par 9 si N0(9) et donc d'aprés la question précédente si S est divisible par 9 soit S0 (9)
a bientôt
D'accord,merci !
Pour la 3)
D'après la question 2) la régle de divisibilité par 9 semble être la somme des termes.
Donc A est divisible par 9 si B est divisible par 9
B est divisible par 9 si C est divisible par 9
C est divisible par 9 si D est divisible par 9
Mais après je ne sais pas comment démontrer que AD(9)
Est ce qu'on peut dire que A est divisible par 9 si D est divisible par 9 ?
D'accord, merci beaucoup !
A la question 3)b] :
A < 10 000
20052005< 10 000
Mais en partant de ça je ne vois vraiment pas comment démontrer que A s'écrit en numérotation décimale avec au plus 8 020 chiffres.
Si vous pouviez me donner encore une petite explicaion, ça serait sympa !!!:D
D'accord merci bien !
Donc en fait pour en déduire que B < 72180 :
Est que ça suffit si on dit que :
B est la somme des chiffres de A, et A a au maximum 8020 chiffres
Donc si on prend la valeur maximale de chaqu'un des 8020 chiffres, c'est à dire 9 : B < 8020 * 9
Donc B < 72 180
Merci d'avance !
Par contre, je ne comprend pas le 3) c] qui dit :
Démontrer que C45
Ce qui voudrait dire que la somme des chiffres de B est inférieur ou égale à 45. Pourtant B < 72 180.
Enfin, je ne vois pas comment faire !
Si vous pouviez m'expliquer un petit coup !
Merci d'avance !
bonjour
dans la liste des nombres entiers inférieurs ou égaux à 45 ; 39 est celui dont la somme des chiffres est la plus grande
on a donc D12
a plus
Bonjour,
Oui d'accord,
mais je ne comprend pas comment on démontre que c45
Merci !
bonjour
si on étudie la somme des chiffres de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à 45 on trouve au plus 12(pour 39:3+9=12)
Comme Dest la somme des chiffres d'un entier naturel inférieur ou égal à 45 on en déduit D 12
12 est un majorant de D plus petit que 15
a plus
Bonjour,
Oui d'accord j'ai compris cette question 3 d]
Mais ce que je n'arrive pas à démontrer c'est la question 3c] qui dit :
Démontrer que C45
Merci d'avance pour l'aide !
bonjour
le raisonnement précédent montre que B comporte au plus 5 chiffres donc C est la somme d'au plus 5 nombres tous inférieurs ou 'égaux à 9
donc C5
945
amicalement
Merci beaucoup pour cette explication !
On est bientôt à la fin : il reste plus qu'une question !!!!
3)e]Démontrer que D=7
Donc on sait que D est la somme des chiffres de C : donc B comporte 2 chiffres .
De plus on sait que AD(9)
Mais en fait je ne sais pas trop quoi tirer de ça !
Parceque si on avait eu la valeur exacte de A on aurait put rechercher un chiffre qui par la division euclidienne par 9 avait le même reste....mais là je ne sais pas vraiment comment faire une fois de plus !
Merci d'avance !
bonjour
on sait que A7 (9) et que AD(9) donc
D7(9)
le seul entier inférieur ou égal à12 et congru à 7 modulo 9 est 7
donc D=7
a bientôt
Bonjour !,
C'est vraie, j'avais oublié de me servir du fait que A7(9)
En tout cas merci beaucoup pour toutes les explications que vous m'avez données pour ce DM, ça m'a vraiment aidé !
A bientôt !
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