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Spécialité maths : exercice
BOnjour je n'arrive pas à faire cet exercice. Pouvez vous m'aider svp? Merci d'avance!
A. Soit p un nombre premier donné; on se propose d'étudier l'existence de couples (x;y) d'entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation:
(E) : x²+y²=p²
1/ On se pose p=2. Montrer que l'équation (E) est sans solution.
On suppose désormais que p est différent de 2 et que le couple (x;y) est solution de l'équation (E).
2/ Le but de cette question est de prouver que x et y sont premiers entre eux.
a) Montrer que x et y sont de parités différentes.
b) Montrer que x et y ne sont pas divisibles par p.
c) Montrer que x et y sont premiers entre eux.
3/ On suppose maintenant que p est une somme de deux carrés non nuls, c'est à dire:
p=u²+v² où u et v sont deux entiers naturels strictements positifs.
a) Vérifier que, dans ce cas, le couple (|u²-v²|;2uv) est solution de l'équation (E).
b) Donner une solution de l'équation (E) lorsque p=5 et puis lorsque p=13.
4/ On se propose enfin de vérifier, sur deux exemples, que l'équation (E) est impossible lorsque p n'est pas somme de deux carrés.
a) p=3 et p=7 sont-ils somme de deux carrés?
b) Démontrer que les équations x²+y²=9 et x²+y²=49 n'admettent pas de solutions en entiers naturels strictement positifs.
B. a est un entier naturel.
1/ Montrer que a^5-a est divisible par 10.
2) a et b sont des entiers naturels tels que a
b, démontrer que si a^5-b^5 est divisible par 10, alors a²-b² est divisible par 20.
p est premier et p différent de 2 => p impair => p² impair => a²+b² impair
comme le carré d'un nombre pair est pair et celui d'un nombre impair est impair => a et b ne peuvent être de parité identique car la somme de leur carrés serait paire => a et b soit de parité opposée.
A vérifier
.
la webmaster a écrit :
A LIRE AVANT de poster, merci
par : webmaster Océane (Webmaster)
Un rappel des règles du forum en cette période de rentrée et de ferrys de nouveaux arrivants sur notre
* Ne PAS DONNER SON ENONCE BRUT, écrire également les pistes de réflexion, les problèmes rencontrés,
A toi
.
alors j'aimerai avoir confirmation des questions que j'ai faite et de l'aide pour les questions auxquels je ne suis pas arrivé!
A. x²+y²==4
Supposons que par l'absurde que (E) admet au moins une solution. Le couple (2,0) est solution. Or on a contradiction car y n'est pas strictement positif donc (E) est sans solution par l'absurde.
1. Supposons que x et y sont de même parité.
Par exemple prenons x et y pair.
Soit x=2k et y=2k'
(2k)²+(2k')²=p²
4k²+4k'²=p²
4(k²+k'²)=p²
On sait que 4 ne divise pas p² car p est premier et différent de 2.
Donc x et y sont de parités différentes.
B. Supposons que x et y sont divisibles par p.
Supposons que p divise x et p divise y.
Alors x=p*k et y=p*k'
(pk)²+(pk')²=p²
p²k²+p²k'²=p²
p²(k²+k'²)=p²
k²+k'²=1
Il n'existe pas d'entier naturel strictement positif k et k' vérifiant cette équation d'où la contradiction.
La question c je n'arrive pas! pouvez vous m'aider svp? merci
Re,
p premier,
par l'absurde. soit d un diviseur commun de x et y x=dx' y=dy'
x²+y²=p²
devient d²(x'² + y'²) = p²
marjorie la tu dois voir une contradiction ... non ? quels sont les diviseurs de p² ?
D.
pour B1) j'ai fait une disjonction de cas pour a=10k+p aevec p=0,1,2,3,4,5,6,7,8 ou 9
pour B2) si a^5-b^5 est divisible par 10, comme a^5-a est divisible par 10 b^5-b est divisible par 10 alors toute combinaison linéaire est divisible par 10 donc :
(a^5-b^5) - (a^5-a) + (b^5-b) est divisible par 10
soit a-b est divisible par 10, a-b se termine par le chiffre 0 :
a et b ont donc le même chiffre des unités
a=10k+p et b=10k'+p
calcule a²-b² et conclus!
Il y a peut-être plus direct...
.
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