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Stone Weierstrass et Fejer
Bonsoir !
J'ai un exo qui est apparemment simple, donc je m'en méfie. Il est intitulé "théorème de Fejer".
Il faut que je montre que l'ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans l'ensemble des fonctions continues sur le cercle unité de 
, pour la norme infinie.
Stone Weierstrass a l'air de marcher très (trop) bien marcher.
Le cercle unité est compact, de Banach, les polynômes trigonométriques forment une algèbre, sépare les points du cercle unité, et contiennent la fonction qui vaut toujours 1.
Y a t-il une subtilité que je ne vois pas ?
Ok, merci Nightmare 
C'est juste que sur cette planche de TD, il y a des questions pour lesquelles je mets plusieurs heures avant de trouver la solution, alors là cet exo m'a surpris ^^
Bah le seul point un peu délicat est de montrer que ça sépare les points du cercle unité mais ce n'est pas vraiment difficile.
Ce qui serait intéressant c'est de montrer ce théorème sans cette version généralisée de SW
Mais dans cet exo, les polynômes trigonométriques sont définis sous la forme f(x)=
akxk, où x est un complexe du cercle unité (et on a bien sûr une somme finie indicée sur Z).
Donc logiquement, l'identité est un polynôme trigonométrique. Et elle sépare les points. Non?
Salut !
oui tous à fait.
ceci dit le théorème de Fejer est un résultat un peu plus difficile, qui dit que la série de fourier d'une fonction continu converge uniformément en moyenne de Césaro. (c'est à dire si fn est la fomme partielle alors, Fn =(somme de k=1 a n de fn)/n converge uniformement vers f).
ce résultat demande un peu plus de travaille.
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