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suite
Bonjour, j ai un exercice à faire que je ne omprends pas. Pouvez vous m aidez svp ? 
Soit (U[/sub]n )n>=0 une suite à termes dans 
. Montrer que (U[sub]n )n>=0 converge si et seulement si elle est stationnaire. 
Bonjour
Bon, trivialement, une suite stationnaire est convergente
Montrons qu'une suite d'entier convergente est alors stationnaire.
Reprend la définition d'une suite réelle convergente.
Comme la différence de 2 entiers est un entier, ne peux-tu pas prendre un epsilon assez petit pour obliger que |Un-L|=0 ?
Attention ici tu vaut dire stationnaire à partir d'un certain rang je présume!
Bon premièrement si elle converge sa limite est dans Z. Pour le voir si tu note l sa limite et que tu supposes qu'elle n'est pas dans Z alors tu peut trouver tel que
où p est un entier (fais un dessin!). Or pour n assez grand ta suite doit être dans
qui ne contient pas d'entier!! C'est impossible. Donc la limite est dans Z.
Maintenant pour la stationarité : tu prend tel que
ne contient qu'un seul entier c'est à dire l (fais un dessin). Pour n assez grand tous les points de la suite sont dans cet intevalle, ce sont des entiers donc les points valent tous l!!
Voilou!!
Ha oui en effet, il faut d'abord montrer que la limite est aussi dans Z !
Par contre, j'ai toujours rencontré stationnaire comme :
il existe n0 tel que pour tout n>n0, Un=Un0
Donc pas besoin de dire "à partir d'un certain rang", non ?
Peut-être mais bon je suis maniaque je préfère ajouter à partir d'un certain rang pour pas me planter.
Il montre d'abord que la limite d'une suite entière convergente est un entier en raisonnant par l'absurde,
Puis (comme je te l'ai aussi proposé), il prend e<1, et donc à partir d'un certain rang |Un-L|<e<1, donc Un€]L-1,L+1[ or Un est un entier ! ...
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