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Posté par
G-ri 12-11-08 à 13:42

Bonjour, pourriez-vous me donner quelques indications pour les questions de l'exercice suivant ?

Soit la suite (sn)n>=1 définie par:

sn = \frac{1}{5} + \frac{4}{5^2} + \frac{7}{5^3} + ... + \frac{3n-2}{5^n}

a) La suite (sn)n>=1 est-elle croissante ?
b) Montrer que sn+1 = \frac{1}{5} + \frac{1}{5}sn + \frac{3}{20}(1-\frac{1}{5^n})
c) Prouver que sn+1 est majorée.
d) Montrer que (sn)n>=1 converge et trouver sa limite.

Je ne m'en sors pas du tout alors je vous remercie de l'attention que vous porterez à mon exercice... Des indications suffiront pour que je puisse le faire seul...

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Suite 12-11-08 à 14:29

Bonjour

a) Oui, bien sur elle est croissante! regarde Sn+1-Sn

b) Simple vérification; même pas de récurrence!

c) Tu sais que S_n\leq S_{n+1}; à partir de l'égalité précédente tu obtiens une majoration.

d) Croissante, majorée, donc convergente. A nouveau tu regardes que devient l'égalité de b) quand n tend vers l'infini.

Bon courage!

Posté par
G-rire : Suite 12-11-08 à 14:44

Mais je n'arrive pas à calculer sn+1: je n'arrive pas à retrouver l'expression donnée en b).

Posté par
G-rire : Suite 12-11-08 à 14:48

Et je n'ai pas compris votre explication de la question c)

Merci de m'expliquer

Posté par
Camélia Correcteurre : Suite 12-11-08 à 15:13

S_{n+1}=\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+...+\frac{3n-2}{5^n}+\frac{3n+1}{5^{n+1}}=

\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^3}+\frac{3}{5^2}+...+\frac{3n-2}{5^{n+1}}+\frac{3}{5^{n+1}}=

\frac{1}{5}+\frac{1}{5}S_n+3\sum_{k=2}^{n+1}\(\frac{1}{5^k}\)

Pour majorer il suffit d'écrire

S_{n+1}\leq \frac{1}{5}+\frac{1}{5}S_{n+1}+\frac{3}{20} et d'en tirer les conséquences...

Posté par
G-rire : Suite 12-11-08 à 15:18

Merci, je vais essayer de continuer seule. Et si il y a un problème je reviens (si vous le voulez bien...)


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