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Posté par
yayou 25-08-09 à 20:10

bonjour,
je m'entraine sur des exercies pour mes examens et je n'arrive pas a faire certains exercices , pourriez-vous m'aider svp :
soit (Un) la suite definie par : U0 appartient a ]-1;1[ et pour tout n appartenant a N,
Un+1= racine((1+Un)/2),
1) montrer que limite lorsque n tend vers + l'infini de Un=1.
2)on cherche la limite , si elle existe de la suite Vn definie par :
                   pour tout n appartenant a N , Vn= 4^n(1-Un).
pour cela , on pose G0=Arccos(U0) ( c'est a dire cos(G0)=U0 avec G0 appartenant a [0;phi])

a) exprimer Un en fonction de G0 et de n
b) en deduire que limite lorsque n tend vers + l'infini de Vn=(1/2*(G0^2))

Posté par
olive_68re : suite 25-08-09 à 20:41

Salut

Tu as déja trouvé pour la 1. ? Faudrait déjà que tu prouves un intervalle stable pour que la suite soit définie, je pense que je m'exprime mal mais montre que si 3$u_n\in ]-1;1[ alors 3$u_{n+1} \in [0:1[

Posté par
yayoure : suite 25-08-09 à 21:08

bonjour,
merci pour votre aide oui la question 1 je l'ai reussi mais c'est la question 2 qui me pose probleme !
merci d'avance pour vos reponse`!

Posté par
olive_68re : suite 25-08-09 à 21:15

Salut

Pour commencer, une petite idée 3$u_{n+1}=\sqrt{\fr{1+u_n}{2}} ça ne te fais pas pensé à une formule de trigo si on remplace 3$u_n par .. ? Je crois bien que c'est la clé de cette question

On pourrait prouver la conjecture par récurrence, je ne l'ai pas encore fait mais je pense que ça va marcher, je te tiens au courant

Posté par
yayoure : suite 25-08-09 à 21:33

merci pour votre reponse , mais j'ai essayer de  chercher le rapport avec la trigo mais je ne l'ai toujours pas trouver si vous pouvez plus m'aiclaircir ..
merci d'avance..

Posté par
olive_68re : suite 25-08-09 à 21:34

et si tu remplaces u_n par \cos(x) ?

Posté par
yayoure : suite 25-08-09 à 21:37

la veriter je ne voit pas du tout ou est-ce que tu veut en venir ....

Posté par
olive_68re : suite 25-08-09 à 21:40

3$\|\cos\(\fr{x}{2}\)\|=\sqrt{\fr{1+\cos(x)}{2}}

Avec les indications données dans la question 2 tu ne peux toujours pas avancer  ?

Posté par
yayoure : suite 25-08-09 à 21:50

le probleme c'est que je connai pas Un je connai que Un+1 et si je remplace dans Un+1 , Un par cos(n/2) sa me donne Un+1=cos(n/2).....
je voit pas trop ce qu'il faut faire desole ... si tu peut me donner plus de piste...
merci baucoupppp

Posté par
olive_68re : suite 25-08-09 à 21:54

3$\cos(g_0)=u_0

Donc 3$u_1=\sqrt{\fr{1+\cos(g_0)}{2}}=\|\cos\(\fr{g_0}{2}\)\|

De même 3$u_2=\|\cos\(\fr{g_0}{4}\)\| etc..

Posté par
olive_68re : suite 25-08-09 à 22:03

C'est bon ? donc 3$u_n=... ? (remarque que 3$2^0=1, 3$2^1=2 3$2^2=4 etc..)

Posté par
yayoure : suite 25-08-09 à 22:29

alors Un = cos(G0/2^n) c sa ?
merci beaucoup..

Posté par
olive_68re : suite 25-08-09 à 22:31

Ouais j'ai l'impression que c'est ça , ça me paraît pas mal

Une idée pour la suite?

Posté par
yayoure : suite 26-08-09 à 14:03

non je n'ai pas tros d'idee pour trouver la limite pourrais tu me donner une piste stp
merci beaucoup!

Posté par
yayoure : suite 26-08-09 à 17:36

hep svp

Posté par
yayoure : suite 27-08-09 à 13:42

hepp s'il vous plait! merciii

Posté par
Ateare : suite 27-08-09 à 14:04

Bonjour,

On a donc v_n = 4^n (1 - cos(\frac{g_0}{2^n})).
Or \frac{g_0}{2^n} tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
Or on connaît un équivalent de (1 - cos(x)) en 0, ce qui devrait permettre de conclure.

Posté par
yayoure : suite 27-08-09 à 14:36

merci beaucoup ,
alors l'equivalent de 1-cosx en 0 c'est x^2/2 ce qui donne donc Vn=4^n(go^2/2) et limite en o de 4^n est egale a 1 donc la limite de Vn =1/2*(g0^2)..
merciiiiii beaucouppppp!!!

Posté par
olive_68re : suite 27-08-09 à 16:40

Salut

Oh pardon j'avais complètement oublié ce topic ! Enfin je n'auraus surement pas su te répondre, je ne connais pas encore les équivalents moi ..

Posté par
yayoure : suite 27-08-09 à 19:33

c'est pas grave mais merci beaucoup pour ton aide quand meme.

Posté par
olive_68re : suite 27-08-09 à 20:02

De rien pour ma part

Posté par
Narhmre : suite 27-08-09 à 20:28

Bonjour à vous tous,

Juste pour reprendre vite fait ce que tu disais yayou :

Citation :
alors l'équivalent de 1-cos(x) en 0 c'est x^2/2 ce qui donne donc Vn=4^n(go^2/2)(??) et limite en o de 4^n est egale a 1 (??) donc la limite de Vn =1/2*(g0^2)..

C'est pas très clair.

En fait, on a 3$ 1-\cos(x)\sim_0 \fr{x^2}2, or comme 3$ \lim_{n\to +\infty} \ \fr{g_o}{2^n} = 0, on en tire que
3$ 1-\cos(\fr{g_o}{2^n}) \ \sim_{n\to +\infty} \ \fr{1}{2}\times \fr{g_0^2}{4^n} \\ \Longrightarrow 4^n(1-\cos(\fr{g_o}{2^n})) \ \sim_{n\to +\infty} 4^n\times \fr{1}{2}\times\fr{g_0^2}{4^n} \\ \Longrightarrow v_n \ \sim_{n\to +\infty} \ \fr{g_0^2}{2}

Il ne s'agit que d'équivalence, pas d'égalité, attention. En revanche la dernière ligne permet de dire que la limite de (v_n)_n est bien 3$ \fr{g_0^2}{2}


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