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suite

Posté par
khirou 21-12-11 à 18:22

salut
J'étais en train de faire cet exercice et j'ai trouvé des difficultés car j'ai essayé d'utiliser tous plusieurs méthodes mais quand meme j'ai po trouvé la solution
dans l'exercice ils ns demandent de montrer que la suit u(n) est croissante
u(n)= (1+ 1/n)n+1

Posté par
gui_toure : suite 21-12-11 à 19:04

Salut

et si tu fais le rapport u(n+1)/u(n) > 1 ?

Posté par
khiroure : suite 21-12-11 à 19:30

on  trouve que ((n+1)/n)n+1 < ((n+2)/(n+1))n+2
et après ...

Posté par
gui_toure : suite 21-12-11 à 19:41

Je pose f(x)=(1+x)\ell n(1+1/x)=(1+x)\ell n(1+x)-(1+x)\ell n(x)

On dérive : f'(x)=\ell n(1+x)+1-\ell n(x)-(1+1/x)=\ell n(1+x)-\ell n(x)-1/x

Le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction t\mapsto \ell n(t) entre x et x+1 donne l'existence d'un c\in[x,x+1] tel que \ell n(1+x)-\ell n(x)=\dfrac{1}{c}
ce qui donne f'(x)=\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{x}\le 0

f est décroissante donc la suite aussi

Posté par
matheleme1re : suite 22-12-11 à 21:49

salut,
tu n'as qu'à calculer la différence:
Un+1-Un=((n+1)/n)n+1(1/n)0
donc Un est croissante

Posté par
gui_toure : suite 22-12-11 à 21:53

Elle est décroissante

Posté par
sabagare : suite 22-12-11 à 22:33

\[{u_n} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{n + 1}};{u_1} = {\left( {1 + \frac{1}{1}} \right)^2} = 4;{u_2} = {\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{{27}}{8} = 3,375;...\]
et plus
\[\begin{array}{c} \\ {u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)^{n + 2}} - {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{n + 1}}\\ \\ = \left( {\frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}} \right)\left( {{{\left( {\frac{1}{{n + 1}}} \right)}^{n + 1}} + {{\left( {\frac{1}{{n + 1}}} \right)}^n}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) + ... + {{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right) \le 0 \\ \end{array}\]


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