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suite: construction exponentielle
Bonjour à tous, je commence un exercice assez intéressant mélangeant suite et fonction exponentielle.
Mais j'aimerai quelques conseils pour mes résultats.
Voici l'énoncé: Le but de l'exercice est la constructiond e la fonction exponentielle. Ainsi, les seules connaissance pouvant être utilisées sont les propriétés de R, corps totalement ordonné dont toute partie majorée admet une borne supérieur et les propriétés des suites réelles vue en cours. Il est bien sur interdit d'utiliser la fonction exp ou ln.
1)i) Montrer que quelque soit t
]-1;+
[, 
n
\{0,1}, (1+t)n
1+nt avec égalité si et seulement si t=0
Réponse:
Par récurrence sur n. Pn: "(1+t)n1+nt "
-> P1: 1+t1+t donc P1 est vraie.
-> Supposons Pn.
Pn+1: (1+t)n+11+(n+1)t =(1+t)n*(1+t)1+nt+t
Et après je suis bloqué...
je vois quoi aller...
ii) En déduire que: quelque soit t]-1;1[, n\{0,1}, (1+t)
(1+(1/t))n1/(1-t)
Réponse: La je pense au inégalité triangulaire. Mais je vois pas du tout comment on peut appliquer sa comme sa. Sinon une autre récurrence.. Mais sa serait un peu trop lourd je crois.
Merci d'avance à tous le monde.
question 1.(Pour montrer que n 2 , t ]-1 , +[ \ {0} on a : (1 + t)n 1 + nt ):
On peut , pour chaque entier n 2 , montrer que fn : t 
(1 + t)n , de ]-1 , +[ vers 
est strictement croissante (ce qui ne me paraît pas insurmontable avec "Rolle")
Si on tient à utiliser le théorème de récurrence ça marche aussi .
Soit X = { n | n 2 et t ]-1 , +[ \ {0} on a : (1 + t)n > 1 + nt }
Il est clair que 2 X puisque si t ]-1 , +[ \ {0} on a : (1 + t)2 - (1 + 2t) = t2 > 0.
Supposons que n X .
.Soit t ]-1 , +[ \ {0} . On a ((1 + t)n+1 > (1 + t)(1 + nt) = 1 + (n + 1)t + nt2 > 1 + (n + 1)t . Cela montre que n + 1 X.
On a donc X = {n | n 2}
C'est exactement ce qu'on voulait montrer .
question 2.:
Soit n entier > 1 . Soit t réel tel que |t| < 1 . On a (1 + t/n)n 1 +n(t/n) = 1 + t puisque t/n > -1 .
L'étude de gn : t (1 - t)(1 + t/n)n de ]-1 , +1[ vers montre que : gn gn(
0) = 1 donc pour tout réel t de ]-1 , +1[ on a : (1 + t/n)n 1/(1 - t)
Euh, comment dire sa, "Rolle" est le nom d'un théorème? (car je ne connais pas)
Par contre pou la 2 comment sait-tu que (1 + t/n)n 1 +n(t/n) (= 1 + t puisque t/n > -1 )?
Merci à vous 2 pour votre aide
Voilà, bon j'ai compris mais la question 2 à l'air dure.
Notre prof a donné cela:
"être persuadé qu'il faut utiliser la question 1.
* un+1(x) - un(x) = un(x)((1+x/(n+1))*(an(x))^n - 1)
** an(x) = (1 + Tn(x)) avec Tn(x) > -1 . Utiliser alors 1 pour minorer (an(x))^n.
*** On trouve que un(x) > x^2/(n*(n+1)^2*(1+x/n)) pour n>|x|"
2) Soit x un réel fixé. Pour tout entier n tel que: n>|x|, on pose:
Un(x)=(1+(x/n))n, Vn(x)=(1-(x/n))-n
i) Montrer que la suite (Un(x)) (n>|x|) est croissante et que pour x
0 cette suite est strictement croissante.
Un+1 - Un = (1+(x/n+1)) - (1+(x/n)) mais sa avance pas grand chose d'utiliser sa...
Si quelqu'un aurait uen autre idée "lumineuse"
Merci d'avance.
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