4[sup][sup]n = 4 exposant n

Juste pour verification, tu obtiens quoi pour le 1 ?

on obtient : 1/2 *   ( n+1 / n )  *   (2n+1)/(n+1)

= (2n+1)    /      2 (n(n+1))

obtiens-tu la même chose ?

Absolument pas. Tu peux detailler ton calcul ?

Attends, si, finalement, je n'avais pas fait toutes les simplifications.
Donc j'ai la meme chose que toi.

Salut prepa1,
pour la question 1 je ne trouve pas la meme chose que toi.
pour la deux, je retombe sur mes pattes avec une belle recurrence...
je peux recopier sur papier et la scanner et te l'envoyer si tu veux car je suis un peu long sur le clavier...
Si tu ne me repond dans les 8 minutes qui suivent, je comprendrai donc que je devrai taper sur le clavier tout ce que je pense...

mon calcul :
an+1/an =      (n+1)   *  (n+1)parmi(2n+2)    /   4   exposant n+1
le tout sur     n  *  n parmi 2n    /    4 exposant n

                    = (n+1)    * (2n+2)!   *   n! * n!
le tout sur        4 * (n+1)! *  (n+1)!   *   n   *  (2n)!


                    = (n+1)   *  (2n+1) (2n+2)
le tout sur           n    *    4   *   (n+1)(n+1)


                    = (n+1)   *  (2n+1) * 2 * (n+1)
le tout sur           n    *    4   *   (n+1)(n+1)


                   =   ( (n+1)/n )   * 1/2  *  (2n+1)/(n+1)


c bon jusque là?

non je suis dans les temps !
ouf ne recopie pas tout!!
lol

alors donne moi ton adresses et puis je tenverrai un message pour te donner la mienne !!
merci d'avance

Hechem7@yahoo.fr

je suis en train de la copier sur feuille ...
tu l'auras dans 5 min je pense

  Bonsoir,

  1°) Votre résultat est correct:
            a(n+1)=an*(2n+1)/2rac(n(n+1))   (1).

  2°)  Nous trouvons immédiatement:
                a1=1/2.
   Pour n=1,  rac(n/(2n+1))=rac(1/3).
  Nous avons:  (1/2)<rac(1/3), donc pour n=1:
                  an<rac(n/(2n+1))   (2)
  Il faut maintenant faire une recurrence.
  D'après (1): a(n+1)=an*(2n+1)/2rac(n(n+1)).
L'hypothèse de recurrence donne an<rac(n/(2n+1)), donc:
           a(n+1)<rac(n/(2n+1))* (2n+1)/2rac(n(n+1)).
           a(n+1)< rac(2n+1)/2rac(n+1)=rac((2n+1)/4(n+1)).
   On démonter aisément que: (2n+1)/4(n+1)<n+1)/(2n+3), donc:
               a(n+1)<rac((n+1)/(2n+3)) C.Q.F.D.

  3°)
         Il faut reprendre (1).
a1=1/2.   a(n+1)/a(n) = (2n+1)/2rac(n(n+1)).
Nous avons: (2n+1)²>4n(n+1), ce qui entraine:
       pour tout n€N*, a(n+1)>a(n).
La suite a(n) est croissante, donc an>a1, càd: an>1/2.
Enfin an<rac((n+1)/(2n+3))<rac(1/2) car: pour tout n>0, (n+1)/(2n+3)<1/2,
ce qui donne:
     pour tout n€N*, 1/2 < an < rac(1/2).
  La suite an est croissante et bornée, donc elle tend vers une limite L telle que:        1/2 < L < rac(1/2).
  
    Très cordialement.
  

je suis désolée mais mon problème pour la 2) est de montrer que rac ( (2n+1)/(4(n+1)) )  <  rac ( (n+1)/(2n+3) )
j'ai en effet élever au carré

pour comparer, je suis partie du principe que c'était vrai ensuite, en développant, je trouve une équation du second degré qui ne permet pas d'affirmer que c'est effectivement vrai !

    Bonsoir,
  
Retour à la question 2°):
Il faut démontrer que:
   a(n)<rac(n/(2n+1)) => a(n+1)<rac((n+1)/(2n+3).
Vous êtes arrivée à:
          a(n+1)<rac((2n+1)/4(n+1)).
Pour comparer rac((2n+1)/4(n+1)) et rac((n+1)/(2n+3), on compare les carrés de ces deux nombres, c'est à dire:
            (2n+1)/4(n+1) et (n+1)/(2n+3), c'est à dire encore:
                  (2n+1)(2n+3) et 4(n+1)²
   (2n+1)(2n+3)=4n²+8n+3;  4(n+1)²=4n²+8n+4
              (2n+1)(2n+3)-4(n+1)² = -1, -1<0 donc:
               (2n+1)(2n+3)< 4(n+1)² ce qui donne:
             a(n+1) < rac((2n+1)/4(n+1)) < rac((n+1)/(2n+3)).
  Etes vous convaincue?

      Très cordialement.

oui c'est parfait, en fait j'avais complètement déviée alors qu'il suffisait de comparer les deux polynômes... ^^
je vous remercie