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Suite convergente et limite
Bonsoir tout le monde, je suis étudiant en classe préparatoire et les math et moi c'est un peu la galère...
J'ai cet exercice à rendre et j'ai quelques difficultées:
Soit la suite (Un) définit pour tout n 
par:
n
Un = 
1/ (2n +2k-1)
k=1
Pour déterminer la convergence on cherche à montrer qu'elle est croissante et majorée mais j'arrive vite à un petit problème:
n+1 n
Un+1 - Un = 1/(2(n+1)+2k-1) - 1/(2n+2k-1)
Après avoir développer je tombe sur:
n
Un+1 - Un = 1/ (4n+3) - 2/((2n+ék+1)(2n+2k-1))
Ce qui n'est pas très cool pour montrer qu'elle est croissante car c'est le cas en calculant Uo, U1... on peut même la borner par 1/2...
HELP
bonsoir
je suis étudiant en classe préparatoire et les math et moi c'est un peu la galère...
c'est un peu dommage !
bon, revenons à ton problème... je ne comprends pas bien ton u(n+1)-u(n) :
fais le changement k=k'-1
ce qui prouve de façon évidente que U est croissante...
après, il est facile de démontrer qu'elle est majorée par 1/2
donc elle converge...
Bonjour,
Croissance des Un :
On a, en détaillant le début et la fin des sommes :
Un = 1/(2n+1) + 1/(2n+3) + 1/(2n+5) +...+ 1/(4n-5) + 1/(4n-3) + 1/(4n-1)
Un+1 = 1/(2n+3) + 1/(2n+5) + 1/(2n+7) +...+ 1/(4n-1) + 1/(4n+1) + 1/(4n+3)
Donc Un+1 -Un = 1/(4n+1) + 1/(4n+3) -1/(2n+1)
On réduit tout au même dénominateur :
Un+1-Un = [(4n+3)(2n+1)+(4n+1)(2n+1)-(4n+1)(4n+3)][(4n+1)(4n+3)(2n+1)]
Le dénominateur est positif, et le numérateur vaut :
8n²+10n+3+8n²+6n+1-16n²-16n-3 = 1
Le numérateur est aussi positif, donc Un est croissante.
Majoration des Un :
Pour un n donné, le plus grand des termes des termes 1/(2n+2k-1) est le terme correspondant à la plus petite valeur de k, c'est à dire k = 1. Le plus grand des termes est donc 1/(2n+2-1) = 1/(2n+1)
Comme il y a n termes, tu meux donc majorer Un par n/(2n+1), qui est lui-même majoré par 1/2, comme tu l'as pressenti.
Conclusion : Un est croissante et majorée, donc convergente.
Bonsoir MatheuxMatou,
Je ne trouve pas le même Un+1-Un que toi...
Un de nous deux s'est trompé quelque part 
(en général, c'est moi...)
Sauf erreur de m part n'y a-t-il pas un problème dans la réponse que tu me proposes, tu changes un n, ce qui simplifie tout:
n+1
Un+1 = 
1/ ((2(n+1)+2k-1))
k=1
et non pas
n+1
Un+1= 1/ (2n+2k-1)
k'=1
C'est pour sa ... si on dévloppe celle que tu as avec Un1-Un ce qu'il y a dans la somme se simplifie aisémment à conditon de ne pas faire d'erreurs...
Lehibou merci, je vois la suite telescopique de cette manière 
c'est d'ailleurs beaucoup plus simple pour raisonner !
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