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Suite cos n
Bonjour a tous et a toutes 
, je viens poster ici un exercice a la fois simple et incomprehensible pour moi 
:
La suite cos n est-elle convergente ?
Or je sais d'apres mes tres minces connaissances que cos n n'adment pas de limite donc je ne vois pas comment celle ci pourrait etre convergente
Merci d'avance des vos reponses
Salut,
cet exercice a déjà été posté maintes fois.
Si tu veux une solution détaillée, fais une recherche.
++
Manière pas habituelle (voir si c'est OK ou non)
cos(n+2) = cos(n)*cos(2) - sin(n)*sin(2)
Supposons que la suite converge vers A :
lim(n -> oo) cos(n) = A (Avec A dans [-1 ; 1])
Mais on aurait aussi
lim(n -> oo) cos(n+2) = A
lim(n -> oo) [cos(n)*cos(2) - sin(n)*sin(2)] = A
lim(n -> oo) [A*cos(2) - sin(n)*sin(2)] = A
lim(n -> oo) sin(n) = A(1 - cos(2))/sin(2) = 1,5574... A
lim(n -> oo) sin²(n) = A²[(1 - cos(2))/sin(2)]²
lim(n -> oo) sin²(n) + cos²(n) = A²[(1 - cos(2))/sin(2)]² + A² = 3,4255... A²
1 = 3,4255 A²
A = +/- 1,85...
Ce qui est impossible puisque A n'est pas alors dans [-1 ; 1]
Et donc la suite cos(n) ne converge pas.
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Ce genre d'approche est-elle rigoureuse ?
Bonjour à tous
J-P > il me semble que tu t'es trompé à la fin :
on a plutôt , non ?
et donc il n'y a pas de contradiction.
Kaiser
La méthode de JP est-elle valable ?
A-t-on le droit de faire des opérations sur des limites qui n'existent pas ?
Car je crois que c'est ainsi qu'on peut trouver plusieurs limites à la série S = 1-1+1-1+1-1+1.....
jamo > en fait, ici en raisonnant par l'absurde, on montre que sin(n) admet une limite. Ceci découle de :
lim(n -> oo) [cos(n)*cos(2) - sin(n)*sin(2)] = A
En effet, sin(2) est non nul et cos(n) admet une limite par hypothèse.
Bref, à part cela et la conclusion, le raisonnement de J-P est tout à fait correct.
Kaiser
Salut Kaiser,
Je me suis quant même trompé dans mon dernier calcul.
On arrive à A = +/- 1/1,85... = +/- 0,54 (arrondi) (1)
Pour continuer on pourrait alors recommencer avec lim(n-> +oo) cos(n+1)
On arrivera alors à :
lim(n -> oo) sin(n) = A(1 - cos(1))/sin(1) = 0,546 ... A
lim(n -> oo) sin²(n) = (0,546 ... A)² = 0,298... A²
lim(n -> oo) cos²(n) + sin²(n) = 1,298 A²
1 = = 1,298 A²
A = +/- 0,87 (arrondi) (2)
Comme A est forcément unique si la suite cos(n) existe, les résultats (1) et (2) sont incompatibles.
--> la suite cos(n) ne converge pas.
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Sauf nouvelle distraction.
L'approche est-elle maintenant correcte ?
Salut J-P
Je suppose que tu demandes ceci vis à vis de l'utilisation d'arrondi.
ceci est discutable car ça dépend effectivement si on a accès à la calculatrice.
cela dit, ici, on peut s'en passer.
En effet, dans ton premier message, il y a le quotient qui peut être écrit de manière plus agréable. En utilisant les formules de duplication, on voit que ce quotient vaut exactement
.
Du coup, on a .
Mais .
D'où .
De même avec ton message précédent, on aboutirait à .
Donc on aurait .
Le signe serait est évidemment le signe moins car les cosinus sont de signes opposé ( et
).
On donc que 1 et 1/2 sont dans le même intervalle donc on aurait
ce qui est clairement faux.
Bien sûr, je reconnais que c'est un peu prise de tête sur la fin ! 
Kaiser
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