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suite de fonctions,convergence uniforme
bonsoir,
pour savoir si une suite fn(x) de fonction ,dans mon cours on étudie delta(n)=sup(fn(x)-f(x)) où f(x) est la limite simple des fn. on regarde si delta(n) tend vers 0 quand n vers l'infini dans ce cas la il y a convergence uniforme et autrement non. j'ai compris (ou du moins je crois ) la définition de la convergence uniforme mais je ne comprend pas pourquoi on fait ca. d'apresles exemple j'ai vu qu'on fixait un n et qu'on regarde pour quel x sup est max. par exemple quand fn(x)=x^n sur [0,1] que se passe -t-il?
merci de m'aider je n'arrive pas à voir ce que l'on fait
Parce que dans tes exemples , la limite de fn est la fonction nulle donc fn-f = fn .
Pour x^n ,il n'y a pas convergence uniforme vers 0 sur [0,1] , par contra il y a convergence uniforme sur tout segment de [0,1[ .
Bonsoir.
Une suite de fonctions définies sur
converge uniformément vers
si
, ce qui se réecrit :
, c'est-à-dire
.
Voilà pourquoi on étudie la limite de ce sup.
Sur ton exemple, la suite de fonction converge vers .
La convergence n'est pas uniforme car le fameux sup ne tend pas vers 0.
On peut aussi remarque que les fonctions sont continues, alors que la limite ne l'est pas, ce qui empêche la convergence uniforme.
On etablie la converge de la suite de fonctions vers la fonction dans l'EVN des fonctions muni de la norme uniforme.
\forall \epsilon >0, \; \exists N \; | \; \forall n\ge N, \; \sup_{x\in I} |f_n(x) - f(x)| < \epsilon, c'est-à-dire \lim_{n\to + \infty} \, \sup_{x\in I} \, |f_n(x) - f(x)| = 0.[quote]
je ne comprend pas comment s'effectue ce passage?
je ne sais pas
je ne comprend pas vraiment ce qu'on veut veut dire avec le sup. n est il fixé? et x?
merci de prendre le temps en tout cas car j'ai un blocage la dessus
Alors il serait peut-être temps que tu t'intéresses à la définition des limites.
C'est défini de manière parfaitement rigoureuse ...
Tu travailles avec les limites sans connaitre leur définition ?
Alors pourquoi dis-tu que c'est intuitif ?
Je répète une troisième fois ma question; que signifie ?
(avec des quantificateurs, si tu préfères ...)
j'ai compris avec les histoires de limite et de passage.mais quand on parle de sup je n'arive pas à comprendre ces histoires de n fixé ou non avec le sup. ou c'est le x qu'on fixe?
je compris la réecriture mais pas le cad (passage à la limite)
Maintenant, tu me dis l'inverse ...
Enfin, soit.
On calcule
Une fois ceci fait, on a obtenu une suite
Il ne reste plus qu'à déterminer si elle converge vers 0. Si elle converge vers 0, il y a convergence uniforme, autrement, il n'y a pas CVU.
Ta définition de limite est quand même approximative. (pas de quantificateurs ...)
La définition exacte de est :
.
d'accord merci des reponses qui éclairent vraiment ma lanterne. reste un petit point...
dans l'exemple x^n. quand x=1 fn(x)-f(x)=0. reste à étudier quand x compris entre 0 et 1(exclu)où f(x)=0. on voit que c'est quand x proche de 1 que fn(x)-f(x) va etre max. le x est donc fixé.ex: x=0.9999.. on fait maintenant tendre n vers l'infini. donc x^n tend vers 0. donc lim de delta n, pour moi, tend vers 0..
et cela converge uniformément.pour dire que cela ne converge pas uniformément je supose que pour x proche proche de 1 on fait un passage à la limite qu'on prend comme valeur valeur 1 donc ca fait 1-0? qu'en est il?
Ca ne doit pas dépendre de x !
On a pris le sup sur tous les x, x est une variable muette dans !
Si tu avances des réponses sans aucune justification, ça n'a pas vraiment de valeur ...
aiie. je crois que c'est precisemment la dessus que je bloque. je ne vois pas quel peut etre le sup si il ne dépend pas de x..
Si je te donne une fonction définie sur , tu es d'accord que son sup, c'est simplement un nombre, qui ne dépend absolument pas de x, mais seulement de la fonction ?
oui. mais il est associé quand meme à un x où la fonction est maximale en ce point non? et dans l'exemple je ne vois pas quel est le sup.
oui il n'y pas tj de max. mais si il y en a un il dépend de x non? et comment trouver 1 dans l'exemple?
et si on trouve que le sup est égal à 1 quel est l'interet de faire tendre n vers l'infini? le sup dépend il de n? merci de m'aider juste pour ces questions je pense vous avoir suffisament embeter pur se soir.
mais le sup c'est bien quand f(x) est maximum? donc or y=f(x) dépend bien de x non? pourquoi le sup de l'exemple est 1.cela m'aidera a comprendre je crois.
ou alors donnez moi un autre exemple svp
Et si tu répondais à ma question ?
Le sup de sur
est 3, où est le x là dedans ?...
On se moque éperdument de la valeur où le sup est atteint, s'il est atteint. On ne s'intéresse qu'à sa valeur.
Et comme je te l'ai dit, maximum et borne supérieure ne sont pas synonymes.
Pour le sup de ton exemple, on a , et
.
Ainsi
Donc .
Que vaut-ce dernier sup ?
Effectivement, il vaut 1. Comment le justifier ?
mais quel est l'interet de faire tendre n vers l'infini dans le sup?
Bah c'est la définition de la convergence uniforme, que veux-tu faire à la place ?
dsl je n'ai pas pu répondre avant.
comment le justifier; on prend x proche de 1 cad x =1 par passage a la limite puis 1^n est égal à 1 (quand n tend vers l'infini). c'est cela?
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