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Niveau Licence Maths 1e ann
Suite de fonctions convexes
Posté par Nanou2b
Bonjour tout le monde.
Au hasard d'un livre je suis tombée sur le résultat suivant:
(fn) suite de fonctions convexes de [a;b] dans 
qui converge simplement vers f. Alors la convergence est uniforme.
Jusque là, le résultat ne m'a pas choquée, puis j'ai pensé à fn:x
xn sur [0;1]. Pour tout n, fn est convexe, or la convergence n'est pas uniforme.
Je suppose qu'il manque une hypothèse, mais comme je n'ai pas la démonstration du résultat, je ne vois pas laquelle.
Pouvez vous m'aider svp?
Bonjour 
Il ne manque pas d'hypothese, mais il faut modifier un brin la conclusion :
Citation :
Soit (f_n) une suite de fonctions convexes sur [a,b] qui converge simplement vers f alors (f_n) converge uniformement sur tout compact K inclus dans ]a,b[.
D'ailleurs la convexité est transmise à f aussi.
Soit (f_n) une suite de fonctions convexes sur [a,b] qui converge simplement vers f alors (f_n) converge uniformement sur tout compact K inclus dans ]a,b[.
D'ailleurs la convexité est transmise à f aussi.
Par contre, j'ai un peu oublié la démonstration mais de mémoire (à vérifier donc) , ca se fait en deux temps:
¤ on montre que les fonctions f_n sont k-lipschitzienne sur tout compact K de ]a,b[ puis
¤ on démontre que la convergence est uniforme en découpant le compact K.
Donc finalement, ton exemple f_n(x)=x^n sur [0,1] ne fait pas défaut au théoreme
bonjour
Nanou2b>
Citation :
(fn) suite de fonctions convexes de [a;b] dans qui converge simplement vers f. Alors la convergence est uniforme
.
(fn) suite de fonctions convexes de [a;b] dans qui converge simplement vers f. Alors la convergence est uniforme
tu a raison si tu garde le compact [a,b] alors la convergence est sur tout compact inclu dans l'interieur de ton compact si tu veut la convergence uniforme tout court alors tu devrais considerer (fn) suite de fonctions convexes de ]a,b[
ton ex est pertinent la convergence est non uniforme sinon la limite serait continue ...
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