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Suite définie par intégrale

Posté par
Elie2 03-11-09 à 10:59

Bonjour!
Je n'arrive pas à montrer que Un est convergente sachant que Un= int(pi/4 à 0) (tan t)^(2n+2)dt est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci!

Posté par
blangre : Suite définie par intégrale 03-11-09 à 11:03

Bonjour

Tu peux le faire en découpant l'intégrale en deux morceaux.

Posté par
Elie2re : Suite définie par intégrale 03-11-09 à 11:07

Euh je vois pas trop comment ...

Posté par
Elie2re : Suite définie par intégrale 03-11-09 à 11:28

Je suis un peu perdue... Il faut que je fasse une inté par parties ? Jai essayé mais je n'ai pas réussie...

Posté par
blangre : Suite définie par intégrale 03-11-09 à 11:34

Ben fixons 3$ \epsilon >0 (supposons le également, pour plus de confort, strictement inférieur à 3$ \frac{\pi}{2}).

On a 3$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\text{tan}^{2n+2} \text{d}t=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}-\frac{\epsilon}{2}}\text{tan}^{2n+2} \text{d}t+\int_{\frac{\pi}{4}-\frac{\epsilon}{2}}^{\frac{\pi}{4}}\text{tan}^{2n+2} \text{d}t.
Essaye de prouver que la deuxième intégrale est majorée par 3$ \frac{\epsilon}{2} et que la deuxième est majorée par 3$ \frac{\pi}{4} \times \text{tan}^{2n+2} \left( \frac{\pi}{4}-\frac{\epsilon}{2} \right). Ensuite tâche d'établir que pour 3$ n assez grand, la première intégrale soit majorée par 3$ \frac{\epsilon}{2} .

Posté par
blangre : Suite définie par intégrale 03-11-09 à 11:35

Dans la dernière phrase : "est majorée" pas "soit majorée".

Posté par
Elie2re : Suite définie par intégrale 03-11-09 à 11:35

Ok merci je vais essayé!

Posté par
blangre : Suite définie par intégrale 03-11-09 à 14:32

Sinon, effectivement, on peut également se tirer d'affaire en intégrant par parties.

Sauf erreur de calcul, en écrivant 3$ \text{tan}^{2n+2}x=\sin^2x \times \left( \frac{1}{\cos^2x}\times \text{tan}^{2n}x \right), on aboutit à :
3$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \text{tan}^{2n+2}x \text{d}x=\frac{4}{4n+2}-\frac{1}{2n+1} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(2x) \text{tan}^{2n+1}x \text{d}x .
Reste à majorer

Posté par
blangre : Suite définie par intégrale 03-11-09 à 14:33

Heu 3$ \frac{1}{4n+2} pas 3$ \frac{4}{4n+2} .


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