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Posté par
Louis66re : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 19:40

J'ai une idée, mais je ne suis pas convaincu que cette opération sur une limite soit possible :

Comme lim n! n^(-n-1/2)*e^n = exp(k)

alors lim n! n^(-n-1/2)*e^n * 1/exp(k) = 1

d'où l'équivalence

mais peut-on opérer comme ça sur les limites ?

Posté par
Razesre : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 19:43

Tout à fait, tu as tout ce qu'il faut.

Mais enlève le signe = et remplace le par \sim

Posté par
Razesre : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 19:44

En limite tu peux mettre le signe =

Posté par
Louis66re : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 19:46

Mais quel est ce théorème qui permet de "trafiquer" les limites ?

Merci

et encore une autre question
Que sait-on concernant (2n!) et (n!)² ? Y a-t-il une quelconque relation, d'équivalence ou de négligeabilité ?

Posté par
Razesre : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 19:52

Ce que tu as écrit à 19:40 est correct, oublie mes remarques.

Posté par
Louis66re : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 19:56

Oui, j'avais remarqué, j'avais rédigé correctement.

Merci

et encore une autre question
Que sait-on concernant (2n!) et (n!)² ? Y a-t-il une quelconque relation, d'équivalence ou de négligeabilité ?

Posté par
Robotre : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 20:03

\exp k est une constante non nulle. Si \lim w_n=C avec C\neq 0, tu n'es pas convaincu que \lim (w_n/C)=1 ?

Posté par
Louis66re : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 20:06

Si c'est bon, merci j'ai trouvé.

Posté par
Robotre : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 20:14

Etudie le rapport \dfrac{(2n)!}{(n!)^2}. On trouve sa limite par une minoration facile.

Posté par
Louis66re : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 20:47

Justement, je ne fais que simplifier deux ou trois morceaux, mais je ne trouve rien de bien concret.
J'obtiens : (après quelques simplifications) : ( (2^n)(2n-1)(2n-3) .... 3 )/n!

Posté par
Robotre : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 20:54

Ta simplification est très bizarre.

Posté par
Razesre : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 21:00

Travaille avec U_{2n] et (U_n)^2, tu connais leurs limites.

Posté par
Razesre : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 21:02

U_n= \exp(u_n)

Posté par
Robotre : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 21:07

C'est beaucoup plus simple que ce vers quoi veut t'emmener Razes.

Posté par
Razesre : Suite des sommes partielles 30-07-14 à 21:22

Effectivement, il y a une erreur:

U_n = n! n^{\left(-n-1/2 \right)}.e^n

\lim\limits_{n \to +\infty} U_n = e^k

Simplifier  \frac{U_{2n}}{(U_n)^2} dont on connait la limite.

Isoler \dfrac{(2n)!}{(n!)^2} dont tu cherche l'équivalence, puis la limite

Posté par
Robotre : Suite des sommes partielles 31-07-14 à 00:25

Pas besoin de ça pour voir que (n!)^2 est négligeable devant (2n)!.

Posté par
Louis66re : Suite des sommes partielles 31-07-14 à 09:25

Justement, je cherche comment  trouver simplement que (²n!) est négligeable devant (2n!)

Merci en tout cas pour votre aide !  

Posté par
Robotre : Suite des sommes partielles 31-07-14 à 09:43

\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}=\dfrac{2n\times(2n-1)\times\cdots\times(n+2)\times(n+1)}{n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1} qui se minore facilement par une quantité tendant vers +\infty.

Posté par
Louis66re : Suite des sommes partielles 31-07-14 à 11:04

Très bien merci !

Posté par
Robotre : Suite des sommes partielles 31-07-14 à 11:43

Avec plaisir.

Posté par
delta-Bre : Suite des sommes partielles 01-08-14 à 16:32

Bonjour.

Citation :
\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}=\dfrac{2n\times(2n-1)\times\cdots\times(n+2)\times(n+1)}{n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1} qui se minore facilement par une quantité tendant vers +\infty.

Certes l'expression  \dfrac{2n\times(2n-1)\times\cdots\times(n+2)\times(n+1)}{n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1}  se minore facilement par une quantité tendant vers +\infty.
Mais qu'en est-il de  \dfrac{(2n)!}{(n!)^2}=\dfrac{2n\times(2n-1)\times\cdots\times(n+2)\times(n+1)}{(n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1)^2}.  (Tu as oublé le carré au dénominateur.)
Que donne la règle de D'Alemtbert pour la série  de t.g. \dfrac{(n!)^2}{(2n)!}

Posté par
athrunre : Suite des sommes partielles 01-08-14 à 17:28

Robot n'a pas oublié le carré justement

Posté par
Robotre : Suite des sommes partielles 01-08-14 à 18:17

@ delta-B : tu devrais peut-être revoir l'écriture de (2n)!

Posté par
delta-Bre : Suite des sommes partielles 01-08-14 à 18:43

Bonsoir.

Ce n'est pas (2n)! que je dois revoir mais ce qui écrit. Hé oui, je n'est pas vu la simplification.

\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}=\dfrac{2n\times(2n-1)\times\cdots\times(n+2)\times(n+1)}{n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1}\ge n+1

Posté par
Robotre : Suite des sommes partielles 01-08-14 à 18:46

Ben voila. Elémentaire, n'est-il pas ?

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