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Suite et convergence
Bonjour , pouvez vous m'aider a résoudre ce genre d'exercice type du genre f(un) = un+1 a chaque fois je n'y arrive pas.
L'énoncé est le suivant:
Soit la fonction définie par :
f(x)= x2 si 0 < x < 3
f(x) = x/3 + 8 SI x 
3
Soit (Un )la suite définie par :
u0 > 0
un+1 = f(un) , n 
Etudier selon les valeurs de U0 , la nature de la suite (Un)n0
Dans les cas u la suite converge , précisez sa limite.
Merci pour votre précieuse aide
Bonjour, c'est un exo classique.
1. Etude rapide de la fonction f (dérivée, variations, tracé).
2. calculer f(x)=x pour les limites possibles de la suite.
3. Etudier les cas pour Uo.
Cela permet tout simplement de faire un tracé précis de la fonction.
Ensuite, si la fonction est croissante alors la suite est strictement monotone.
Dans les deux cas la fonction est croissante ; donc en en deduit que Un+1> un
Mais pour les valeurs de U0?
et pour les solutions de f(x) = x on trouve pour le 1er cas x=0 ou x=1 et pour le 2ème cas on trouve x=12
Comment choisir ?
Attention ! Tout dépend de Uo !
C'est pour cela qu'il faut faire un dessin et conjecturer (Un) pour différentes valeurs de Uo.
mais quelles sont les differentes valeurs de U0 la seule precisoin qu'on a est que U0> 0 ? Doit-on prendre f(0) ?
Non, déja calcule f(x)=x pour les deux expressions de f.
Tu trouves deux solutions x1 et x2.
Ensuite tu distingues les cas : si 0
désolée de ne pas comprendre si vite , mais j essaie vraiment , donc la suite est toujours croissant quelle est le role de U0 ?
Je t'ai fait un schéma : si tu conjecture (fais "l'escalier") pour Uo = 20 par exemple, (Un) est décroissante
on doit le demontrer juste graphiquement ? D'ou la necessite de tracer la courbe. Peut-on le demontrer par une autre methode ?
initialisation : pour n=0 U0>0
on suppose que Un>0
on démontre que Un+1>0
DONC on a Un>0
Un/3>0 ET Un2>0
Un/3 + 8 >8
donc Un+1 > 0 par heredite
EST-ce correct?
Commence par chercher les limites possibles pour Un en résolvant f(x) = x pour f(x) = x^2 et f(x) = x/3 + 8.
Ensuite, cela te permet de chercher les différents intervalles d'étude.
il n'y a personne qui puisse m'aider? Je suis vraiment stressée parce que je n'y arrive pas AIDEZ MOI
Maintenant que tu as déterminer les limites possibles, tu peux choisir les différents ces pour Uo.
Par exemple 0
Courage !
@gbm :
si la fonction est croissante alors la suite est strictement monotone.
C'est plutôt : la suite est croissante quand un est dans un intervalle ou f(x)>x, décroissante sinon...
@mimilili :
L'étude de la fonction permet donc de voir les intervalles où f(x)<x et ceux où f(x)>x. C'est donc la position de la courbe de f par rapport à la droite y=x (appelée première diagonale) qui va être déterminante pour le sens de variation de la suite.
Une fois que tu auras découpé en ces intervalles, tu t'aperçois que ces intervalles sont stables par f (dans le cas étudié ici), donc tout dépend du premier terme u0.
Ensuite, on peut raisonner avec : suite croissante et majorée, suite décroissante et minorée...
@gbm : pardon, pardon, pardon... Ce que j'ai cité n'est pas faux du tout. Effectivement, si f est croissante, la suite est monotone. Ce que je voulais dire : ce qui est intéressant pour le sens de variation, c'est la position par rapport à la première diagonale.
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