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suite et intégrale

Posté par
Madil62 12-12-09 à 19:02

Bonjour à tous,

j'ai un exercice sur une suite avec une intégrale que je ne sais pas vraiment mener, j'ai l'impression de survoler les questions.
Voici l'exercice:

Soit la suite (un)n\inN définie par récurrence par la donnée de u0 qui appartient a R et la relation de récurrence suivante :
un+1=\int_0^{1} max(t,u_n)dt

1. Démontrer que si u0>1 alors la suite (un)n\inN est constante.
2. Calculer u1 lorsque u0<0.
3. On suppose que un\in[0,1]. Exprimer un+1 en fonction de un et en déduire que un+1\in[0,1].
4. En déduire que, lorsque u0\le1 :
  a) Pour tout n\ge1 on a : un+1=\frac{1}{2}(1+un²).
  b) La suite (un)n\ge1 est monotone.
  c) La suite (un)n\inN converge vers une limite que l'on déterminera.

C'est plutôt à partir de la question 3 que je n'arrive vraiment pas à faire.
Voilà, merci d'avance de vos conseils !

Posté par
raymond Correcteurre : suite et intégrale 12-12-09 à 20:28

Bonsoir.

3°) puisque un est compris entre 0 et 1, écris que :

3$\textrm u_{n+1} = \Bigint_0^{u_n}Max(u_n,t)dt + \Bigint_{u_n}^1Max(u_n,t)dt

Posté par
Madil62re : suite et intégrale 12-12-09 à 21:54

bonsoir,

Merci de votre réponse mais je ne comprends pas où cela va m'amener, je ne vois pas ce que l'on peut déduire de votre réponse.
En fait, je ne comprends pas vraiment la fonction du Max et l'utilisation de celui-ci avec une intégrale, cela me bloque pour tout l'exercice.

Posté par
raymond Correcteurre : suite et intégrale 12-12-09 à 23:02

Dans la première intégrale, t varie entre 0 et un donc, Max(t,un) = un

Dans la seconde intégrale, t varie entre un et 1, donc, Max(t,un) = t

Ainsi :

3$\textrm u_{n+1} = u_n\Bigint_0^{u_n}dt + \Bigint_{u_n}^{1}tdt \\ \\ \\ = u_n[t]_0^{u_n} + [\fra{t^2}{2}]_{u_n}^1\\ \\ \\ = \fra{u_n^2+1}{2}

Posté par
Madil62re : suite et intégrale 12-12-09 à 23:38

d'accord, j'ai bien compris l'utilité du max. merci bien

mais alors, comment justifier ce résultat lorsque u0\le1 et pour tout n\gr1 ?
faut-il utiliser une récurrence ?

aussi, je n'arrive pas à démontrer que la suite est monotone, en fait j'essaye d'appliquer un+1 - un mais je suis bloqué.

Posté par
miltonre : suite et intégrale 12-12-09 à 23:55

salut
met tout au meme denominateur et tu trouveras une identite remarquable

Posté par
Madil62re : suite et intégrale 13-12-09 à 00:28

je trouve -un² + 2un+1 -1 = 0

Il y a une racine double égale à 1.

Mais je ne vois pas comment expliquer que la suite est monotone !

Posté par
miltonre : suite et intégrale 13-12-09 à 00:40

u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^2-2u_n+1}{2}

Posté par
miltonre : suite et intégrale 13-12-09 à 00:41

u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^2-2u_n+1}{2}

Posté par
Madil62re : suite et intégrale 13-12-09 à 00:47

Ok !

j'ai compris l'exercice maintenant.

Merci beaucoup !!

Posté par
miltonre : suite et intégrale 13-12-09 à 01:54

de rien

Posté par
raymond Correcteurre : suite et intégrale 13-12-09 à 11:22

Bon dimanche.


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