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suite et recurrence forte
Bonjour à tous, je bloque sur un exercice depuis un petit moment c'est pourquoi je viens demander de l'aide a qui pourra m'aider. Le problème est le suivant :
On définit une suite par recurrence tel que :
Uo = 1
U2n+1 = Un et U2n+2 = Un + Un+1
1 ) démontrer par récurrence forte sur n appartenant a N que Un est un entier naturel non nul
[i][/i] voici ma petite idée qui n'aboutit pas : on peut prouver que Un est croissante, et comme Uo=1 nécessairement tous les autres termes sont supérieur à 1 et donc à 0. Je n'arrive pas à prouver que Un est croissante.
2) démontrer par récurrence forte sur n appartenent à N, que si un entier naturel d est un diviseur commun de Un et Un+1, alors d =1. On dit alors que Un et Un+1 sont premiers entre eux et que la fraction (Un+1/Un) est irréductible.
[u]pour cette question j'ai écrit Un et Un+1 sous forme de multiplication avec un meme diviseur, aprés le maniement des égalités de départ je n'aboutit à rien d'intéressant
Merci à ceux qui auront eu le courage d'aariver au bout de la lecture
Bonjour,
Pour la question 1,
On a U0=U1=1 > 0
Supposons que tous les termes U0, U1 jusqu'à Un soit des entiers positifs non nul.
Il faut montrer que Un+1 est un entier positif non nul.
Soit n est pair, et tu peux poser n=2p, soit il est impair, et tu poses n=2p+1
Cela devrait être facile à conclure.
Pour la question 2, même raisonnement que la question 1.
U0=U1=1 donc si d est un diviseur de U0 et U1, alors d=1.
La relation est vraie au rang 0
Supposons qu'elle soit vraie pour tout q de 0 à n.
Regardons pour n+1:
Soit d un diviseur de Un+1 et Un+2, montrons que d=1
Pour n pair, on pose n=2p.
Si d divise Un+1=U2p+1, alors d divise Up
Si d divise Un+2=U2p+2, alors d divise Up+Up+1. Or d divise Up, donc d divise aussi Up+1
Or par hypothèse de récurrence, comme d divise Up et Up+1 (avec p<n) alors d=1. CQFD
Pour n impair, même raisonnement.
Ptitjean
j'ai bien compris le deuxieme raisonement, merci. Cependant pour la première question je ne suis pas certaine d'avoir bien compris c'est pourquoi je vous propose rapidement mon raisonement :
on suppose Un diférent de 0
en pose n= 2p , on a Un+1 = U2n+1, or d'après les données de départ U2n+1=Un donc Un+1=Un donc Un+1 est différent de 0d'aprés l'hypothèse.
on pose n = 2p+1, alors Un+1= U2p+2 or d'aprés les données de départ, U2n+2= Un + Un+1 , ici je ne vois pas comment dire que Un+1 est différent de 0 ( on sait déja que Un est différent de 0 dans la supposition, reste a montrer Un+1 avec n impair)
merci d'avance
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