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Suite et somme de suites partielles (équivalence,négligeabilité)
Bonsoir, je sollicite votre généreuse aide pour un exercice de DM que je ne comprends pas...
Soient deux suites et
à termes positifs et équivalentes. On suppose que la série de t.g b_n soit divergente.
Il me faut démontrer que les suites et
sont équivalentes.
(... puis la même démonstration m'est demandée pour la négligeabilité)
En fait en reprenant la définition de suites équivalentes et ses formes alternatives je ne trouve pas de piste.
Je peux écrire : =(1+
(n)). avec
0 lorsque n
ou encore (pour peut être servir dans la démonstration de la négligeabilité) : =
Il me semble qu'on me demande d'étudier les suites des sommes partielles de (a_n) et (b_n). Je me doute qu'il me faille sommer dans l'une des deux expressions mais je ne vais nulle part ainsi.
Dans tous mes brouillons jamais je n'ai réussi à utiliser de manière pertinente le fait que la série de t.g b_n diverge.
En parlant de suite partielle j'ai essayé de séparer la série en suite de somme partielle et en reste, mais cela ne m'a conduit à rien.
Pouvez-vous m'éclairer de vos lumières? Je vous en remercie infiniment d'avance! 
Cordialement,
Melodie
Allons y avec les :
Soient a et b des suites équivalentes à valeurs dans 
+ telles que les séries associées soient divergentes.
Tout d'abord pour p , n entiers tels que p < n on posera A(p,n) = a(p)+.....+a(n) , A(n) = A(0,n) et B(p,n) = b(p)+.....+b(n) , B(n) = B(0,n) . Les suites A et B sont donc croissantes vers +.
Soit > 0.
Soit p un entier tel que B(p) > 0 et tel que pour tout n > p on ait |a(n) - b(n)| 
(/2).b(n).
Soit n > p . On a : |A(n) - B(n)| |A(p) - B(p)| + (/2).B(p,n) |A(p) - B(p)| + (/2).B(n) donc |A(n)/B(n) - 1| c(p,n)/B(n) + /2 si c(p,n) =|A(p) - B(p)|/B(n) . Comme B + on peut trouver un entier N tel que pour n > N on ait c(p,n) /2.
Pour n > N on a donc |A(n)/B(n) -1| .
On a donc A 
B.
Supplément: Que se passe-t-il si A converge (et donc B aussi).(Un exercice qui risque de te tomber dessus)
Regarde les suites R : n 
Sup(A) - A(n) et S : n Sup(B) - B(n) qui tendent vers 0.
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