j'ai déjà vu la démonstration il y a quelques années, et c'est pas de la tarte!

Mon prof nous a pourtant dit que c était simple à démontrer.

Bonjour,

Tu peux déjà montrer que {Un,n€N} est bornée, avec (Un) convergente.

Ensuite voyons voir
tu as donc |Un|<|L|+e, si n>n0
ensuite l'ensemble des {Un | n<n0 et |Un|>|L|+e} est un ensemble fini (non vide), il admet donc un max ou un min.
Reste à voir si le min/max de cet ensemble, est celui de {Un | n€N}

|Un|<|L|+e  ??????

Je suppose que Un->L, quand n->+oo.
mais en effet, ça c'est plutôt pour montrer que {Un, n€N} est bornée

Donc soit e>0, il existe n0 tel que pour tout n>n0, |Un-L|<e
Donc en fait c'est {Un | n<n0 et |Un-L|>e} qu'il faut considérer, c'est un ensemble fini non vide (s'il est vide, et ce pour tout e, c'est que (Un) est constante...), donc admet un max & un min.
Reste à montrer que ce max/min est le max/min de {Un, n€N}