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suite , récurrence et convergence

Posté par
serge75 24-02-10 à 01:43

Bonsoir, je travaille sur un exercice pas évident sur les suites, j'aimerais avoir votre avis sur mes résultats svp.
Soient a,b,c 3 réels vérifiant 0 < a b c et Un, Vn, Wn trois suites définies par
u0 = a, v0 = b, w0 = c et n :
3/Un+1 = 1/Un + 1/Vn + 1/Wn
Vn+1 = (Un Vn Wn)^1/3
Wn+1 = 1/3 (Un+Vn+Wn).

1) Calculer 1/2 (a+b+c) [(a-b)² + (b-c)² + (a-c)²]

Après un long calcul et une relecture j'obtiens l'expression finale : a³ + b³ + c³ - 3abc

2) Montrer que n, 0 < Un Vn Wn

Je procède par étape, la première, montrer que Un > 0.

U0 = a, donc U0 > 0
Un+1= 3(Un Vn Wn)/(VnWn + UnWn + UnVn) Comme d'après l'expression de départ Un, Vn et Wn ne peuvent etre nuls (dénominateur nul) et si Un, Wn et Vn sont positifs, alors Un+1 est positif

Mais je ne peux rien supposer du signe de Vn et Wn et Un sont je tourne en rond.
Sans surtout me donner la réponse, quelle piste me conseillez vous?

merci

Posté par
adufre : suite , récurrence et convergence 24-02-10 à 06:45

Bonjour,

Les réels a,b et c sont strictement positifs et a<=b<=c alors la propriété à montrer par récurrence est vérifiée à l'ordre 0, il suffit de montrer qu'elle est héréditaire et conclure.

Posté par
adufre : suite , récurrence et convergence 24-02-10 à 06:46

En fait on  compare la moyenne harmonique, géométrique et arithmétique.......

Posté par
serge75re : suite , récurrence et convergence 24-02-10 à 12:46

Oui aduf j'étais justement parti sur une démonstration par récurrence mais comme je l'ai dit je ne peux rien supposer de du signe de vn et wn donc pour Un+1 je suis bloqué...

Posté par
serge75re : suite , récurrence et convergence 24-02-10 à 22:10

j'ai réussi à démontrer que les 3 suites étaient toutes supérieures à 0 mais impossible de démontrer que Vn > Un en faisant par exemple:

Vn+1³ - Un+1³ j'obtiens :

UnVnWn - (27Un³Vn³Wn³ / Vn³Wn³ + Un³Wn³ + Un³Vn³)

et je vois pas du tout comment démontrer que cette expression est supérieure à 0...

quelqu'un aurait il un moyen?

Posté par
rhomarire : suite , récurrence et convergence 24-02-10 à 23:01

le 1/  tu as montrer que x3+y3+z3 >=3 xyz quelque soient x,y et z positifs
si x=u1/3,y=v1/3,z=w1/3ca donne  3 u1/3v1/3w1/3<=u+v+w
de meme si x=1/u1/3,y=1/v1/3,z=1/w1/3 \Longright 1/u + 1/v + 1/w >=  3/(uvw)1/3 donc tu peux les utiliser directement et tu trouve...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suite , récurrence et convergence 24-02-10 à 23:27

Bonjour ;

\fbox{1} Je suppose montré le résultat 4$\fbox{\frac{1}{2}(a+b+c)\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)=a^3+b^3+c^3-3abc} (c'est du calcul)

le terme de gauche étant clairement positif pour tous réels positifs a , b et c , on peut énoncer en posant x=\sqrt[3]{a} , y=\sqrt[3]{b} et z=\sqrt[3]{c} :

5$\blue\fbox{\forall x,y,z\in\mathbb{R}+\;,\;\sqrt[3]{xyz}\le\frac{x+y+z}{3}}

\fbox{2} Un petite récurrence donne u_n,v_n,w_n>0 pour tout n .

En utilisant le résultat de l'encadré bleu on voit clairement que 4$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}\;,\;v_{n+1}=\sqrt[3]{u_nv_nw_n}\le\frac{u_n+v_n+w_n}{3}=w_{n+1}} et comme \fbox{v_0=b\le c=w_0} on a l'inégalité pour tout n ,

puis que 4$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}\;,\;u_{n+1}=\frac{3}{\frac{1}{u_n}+\frac{1}{v_n}+\frac{1}{w_n}}\le\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{u_n}\frac{1}{v_n}\frac{1}{w_n}}}=v_{n+1}} et comme \fbox{u_0=a\le b=v_0} on a l'inégalité pour tout n sauf erreur bien entendu

Posté par
serge75re : suite , récurrence et convergence 27-02-10 à 15:22

salut elhor et merci pour cette réponse détaillée, je vais l'étudier en détail et je te dirai si j'ai des questions.

Posté par
serge75re : suite , récurrence et convergence 04-03-10 à 00:18

salut elhor, alors j'ai retravaillé cette question et j'ai une réponse mais je rédige différemment de toi, j'aurais souhaité avoir ton avis s'il te plait:

1.J'ai d'abord prouvé par récurrence que n , Un,Vn et Wn sont supérieurs à 0, je note pas ma démo ici je suis sur de moi.

2. Maintenant j'essaye de montrer par récurrence que: n , 0<Un<=Vn<=Wn.

U0=a, V0=b et W0=c, comme a<b<c, P(0) est vérifiée.
Ensuite, on sait d'après le calcul de la question 1 que si a,b,c sont positifs, alors a³+b³+c³ - 3abc est positif, donc ici même constat que toi, tout va bien. Maintenant je rédige:

a³+b³+c³ > 3abc ; Si on prend la racine cubique des 2 membres, ça ne change pas le sens de l'inégalité car la fonction racine est monotone sur son ensemble de définition, donc ça nous donne: a+b+c => 3*(abc)^1/3 . Comme 3 est positif on peut clairement conclure que (1/3) a+b+c => (abc)^1/3.
Soit Un=a, Vn=b et Wn=c, alors on a bien Wn+1=>Vn+1.

Ma question ici est: la racine cubique de a³+b³+c³ est ce bien a+b+c?

Là où je ne te suis plus c'est comme es tu arrivé à ce que Un+1 soit égal à 3/(1/Un + 1/Vn + 1/Wn) ?

merci

Posté par
serge75re : suite , récurrence et convergence 04-03-10 à 00:19

Pour l'expression de Un+1 je viens de comprendre c'est bon, donc que penses tu de ma rédaction?

Posté par
serge75re : suite , récurrence et convergence 04-03-10 à 01:58

et il y a une chose qui me chagrine c'est que je ne comprends pas du tout comment tu affirmes que :

3/(1/Un + 1/Vn + 1/Wn) < Vn+1....

Posté par
serge75re : suite , récurrence et convergence 06-03-10 à 04:43

quelqu'un aurait il une réponse svp?

merci

Posté par
serge75re : suite , récurrence et convergence 06-03-10 à 17:28

finalement ça ira j'ai très bien compris la réponse de elhor, tout va bien .

Après tout cela je dois en déduire que les 3 suites convergent vers la même limite. Alors on a clairement pas d'informations sur la croissance ou la majoration donc je raisonne autrement, voici ce que j'ai fait:

Wn+1 et Vn+1 ne peuvent etre convergentes que si Un,Vn et Wn sont convergentes car il suffirait qu'une suite diverge pour que Vn+1 ou Wn+1 divergent également, donc Un,Vn et Wn convergent.

Supposons que Un et Wn convergent vers l, alors d'après le théorème des gendarmes, Vn converge également vers l.

MAIS encore faut il que Un et Wn convergent vers la même limite, puis je l'affirmer dès le départ ou non?

merci...

Posté par
serge75re : suite , récurrence et convergence 06-03-10 à 17:44

j'ai une autre idée, supposons que Un, Vn et Wn convergent vers l, alors:

Wn+1 converge vers 3l/3, soit l
Vn+1 converge vers (l³)^1/3, soit l
Un+1 converge vers 3/(3/l), soit l

On en conclut que les suites convergent vers la même limites. Qu'en dites vous?


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