Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Suite récurrente

Posté par
nicollivier 07-09-08 à 16:51

Bonjour,

Voilà j'ai une petite question toute bête, mais je n'arrive pas à m'en dépatouiller...

Soit Un+1= (2+Un),
Avec U0=1

Et je n'arrive pas à trouver Un.

Est-ce que quelqu'un pourrait me donner un indice?!

Merci beaucoup

Posté par
perroquetre : Suite récurrente 07-09-08 à 16:56

Bonjour, nicollivier

On peut démontrer par récurrence que

u_n=2\ \cos\frac{\pi}{3.2^n}

Posté par
nicollivierre : Suite récurrente 07-09-08 à 16:57

Merci beaucoup pour cette réponse très rapide.

Mais est-ce que tu peux me dire comment tu as fait pour trouver cela?!

Posté par
perroquetre : Suite récurrente 07-09-08 à 16:59

Une indication:
1+\cos (2a)=2\cos^2a:

Posté par
nicollivierre : Suite récurrente 07-09-08 à 17:06

Merci pour cette indication, mais là je sèche encore une fois.

Est-ce que tu pourrais détailler un peu s'il te plait?!

Merci

Posté par
perroquetre : Suite récurrente 07-09-08 à 17:09

As-tu vérifié le résultat pour n=0?

Posté par
nicollivierre : Suite récurrente 07-09-08 à 17:13

Avec la relation que tu donnes, le résultat n'est pas bon au rang 0.
Je trouve U0=2.

Posté par
nicollivierre : Suite récurrente 07-09-08 à 17:20

Oups....
En fait ta relation est bonne, bien évidemment....
Mais je ne vois pas comment commencer...

Posté par
perroquetre : Suite récurrente 07-09-08 à 17:21

Vraiment ?

2 \cos\frac{\pi}{3} = \ldots

Posté par
perroquetre : Suite récurrente 07-09-08 à 17:24

Le résultat est donc vrai pour n=0.

Supposons que    u_n=2\cos\frac{\pi}{3.2^n}

Alors:    u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}=\sqrt{2\left(1+\cos\frac{\pi}{3.2^n}\right)}=\ldots

Posté par
nicollivierre : Suite récurrente 07-09-08 à 17:43

Donc si j'ai bien tout compris...
Un+1=(2U²n)

Mais comment tu as fait pour tout de suite trouver Un=2cos(/3.2n)

Posté par
perroquetre : Suite récurrente 07-09-08 à 17:47

Il faudrait que tu revoies le raisonnement par récurrence.

Comment fait-on pour prouver qu'une propriété P(n) est vraie pour tout n de N ?

Accessoirement, il est faux que   u_{n+1}=\sqrt{2u_n^2}

Posté par
nicollivierre : Suite récurrente 07-09-08 à 18:08

Si je ne me trompe pas pour le raisonnement de récurrence:

On commence par une initialisation au premier rang.
Puis on suppose P(n) vraie et on calcule au rang supérieur, et on prouve que c'est égale à P(n+1).

Posté par
perroquetre : Suite récurrente 07-09-08 à 18:13

C'est cela, et c'est exactement ce que je t'ai proposé de faire ...

On a montré que   P(0) est vraie
On a ensuite supposé que P(n) était vraie  (u_n=2\cos\frac{\pi}{3.2^n})
Et on cherche à démontrer que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que    u_{n+1}=2\cos\frac{\pi}{3.2^{n+1}}

On était arrivés à:

u_{n+1}=\sqrt{2\left( 1+\cos\frac{\pi}{3.2^n}\right)}

Il reste un tout petit effort à faire en utilisant mon post de 16h59

Posté par
nicollivierre : Suite récurrente 07-09-08 à 18:40

Merci beaucoup pour ton aide.

Mais je n'arrive toujours pas à savoir comment tu as fait pour trouver Un...

Posté par
perroquetre : Suite récurrente 07-09-08 à 18:59

Il y a un exercice élémentaire qui montre que:

\cos\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}}

On peut généraliser ce type de relation.

Je sais, ce n'est pas évident ...

Posté par
nicollivierre : Suite récurrente 07-09-08 à 19:03

Merci beaucoup pour ton aide...

Malheureusement ce soir, je n'arrive pas à branché mon cerveau..
Je reviendrai dessus plus tard.

Encore une fois Merci


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !