Une erreur dans l'écriture de u_n+2!!!
u_n+2= 211 - (2228 / u_n+1) + (5600 / (u_n*u_n+1))

bonjour

bon, déjà c'est une suite de rationnels

et on remarque que le numérateur d'un terme est le dénominateur du suivant...

donc, je cherche en faisant l'hypothèse que u(n)=p(n)/q(n) avec p(n)=q(n+1)

en remplaçant dans ta formule de base, j'arrive à :

p(n+2) - 211p(n+1) + 2228 p(n) - 5600 p(n-1) = 0

je vais chercher des solutions de cette récurrence sous forme de suite géométrique... de raison r

r doit vérifier

r³ - 211 r² + 2228 r - 5600 = 0

il y a 3 solutions : 200 ; 7 et 4

donc p(n) = a 200ⁿ + b 7ⁿ + c 4ⁿ
d'après tes calculs :
p(0)=11
p(1)=65
p(2)=407

en remplaçant tu trouves a=0 ; b=7 ; c=4

donc p(n)=7ⁿ⁺¹ + 4ⁿ⁺¹

cela ferait

q(n)=7ⁿ + 4ⁿ

bon... reste à démontrer par récurrence que

voilà voilà...

MM

une autre approche possible est de poser v(n)=2*u(0)*u(1)*u(2)*...*u(n)

v(0)=11 ; v(1)=65 ; v(2)=407

et tu démontres avec la relation sur u que v(n+2)=211*v(n+1) - 2228*v(n) + 5600*v(n-1)

ce qui te conduis (comme p précédemment... d'ailleurs v=p !)

v(n) = 7ⁿ⁺¹ + 4ⁿ⁺¹

puis u(n)=v(n)/v(n-1) te donne le résultat.

enfin en divisant haut et bas par 7ⁿ, tu montres que u converge vers 7

et hop !

MM

C'est très gentil de votre part de m'avoir répondu, cependant je lirais demain avec plus de temps car là je n'ai pas le temps, j'ai juste une question au sujet de la recherche des suites geométriques ...
Quand on as des suites récurrentes comme par exemple celle du haut, on doit trouver tjrs des suites geométriques qui satisfassent l'équation? si oui pourquoi? est-ce une notion d'algebre? je ne sais pas...

Merci

Est-ce une suite linéaire d'ordre 3? ou d'ordre 2?
Est-ce que c'est parce que c'est ue suite linéaire que l'on cherche les suites geométriques solution de cette equation?

oui.

On montre que les suites récurrentes d'ordre p, linéaires à coefficients constants forment un espace vectoriel de dimension p...

ensuite il faut trouver une base...

on la cherche sous forme géométrique...

c'est un peu comme les équations différentielles du même métal.

D'accord mais je en comprends tjrs pas pk ce sont des suites geométriques que l'on cherche

parce qu'on en cherche et qu'avec les essais, on a remarqué que si l'équation caractéristique n'a que des racines simples réelles, he bien les suites géométriques correspondantes conviennent !

si les racines sont complexes ou/et multiples, là on en déduit des suites de base qui ne sont plus géométriques.

MM

Daccord

Mais comment vous trouvez vos solutions (200, 7 et 4)?
car c'est ue equation du troisieme ordre?

Vous trouvez 4 comme racine evidente et vous effectuez la division euclidienne ?

oui, là ce sont des techniques de recherche...

je suis parti du principe que les coefficients devaient être choisis pour qu'il y ait des racines "simples"

On remarquera qu'une racine entière du polynôme est fatalement un diviseur de 5600.

j'ai testé quelques diviseurs après avoir décomposé 5600 en facteurs premiers ... et arrivé à 4, j'ai vu que c'était racine.

donc factorisation par (x-4) et puis second degré.

voilà

Mais est-il necessaire de montrer par recurrence que u_n= (7ⁿ⁺¹+4ⁿ⁺¹)/(7ⁿ+4ⁿ) ? car je n'y arrive pas, je bloque en partant de u_n+1, je n'arrive pas a retrouver l'expression de u_n

si tu adoptes ma deuxième méthode, non ! tu fais la démo directe.

si tu veux faire la récurrence, elles est d'ordre 2... tu le supposes pour u(n) et u(n+1) et tu le montres pour u(n+2)

en partant de u_n je voulais dire pardon...
J'obtiens u_n= (7ⁿ⁺²*4 + 7*4ⁿ⁺²)/(4*7ⁿ⁺¹ + 7*4ⁿ⁺¹)

Je reste bloqué dans la récurence..
Je fais u_n*u_n+1 ou u_n+u_n+1 et je trouve pas... y'a-t-il une astuce ?

Dois-je utiliser la récurrence de départ? celle dans l'énoncé de l'exercice?

pour ton post de 16:40 : simplifie ta fraction par 7x4 !!!!

Je ne comprends pas
Ce sont des sommes que j'ai au numérateur et au denomiateur!! ouille ouille ouille j'ai du mal...
Puis dans ce post je n'ai pa utiliser l'autre hypothèse de récurrence, je pense que je suis mal parti dès le debut!

je sais bien que ce sont des sommes... mais tu peux quand même mettre 7 et 4 en facteur au numérateur et au dénominateur non ?

Oui, j'ai simplifié ma fraction mais je suis retombé sur u_n :S
Cela me montre rien...
Je sais pas du tout comment démarré la demo
Pouvez-vous m'aider qd vous aurez le temps...
Merci
Bien cordialement.