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Suite réelle - Oral ENS
Bonjour,
je suis en ce moment sur un exo sur lequel je rencontre quelques difficultés, de l'aide serait la bienvenue 
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Soit une suite réelle strictement positive. On pose
.
Montrer que .
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Dans le cas où la suite converge, c'est bon. Mais dans le cas où la suite peut faire un peu n'importe quoi, je vois pas trop comment avancer... même si on considère une sous-suite.
Dans le cas par exemple ou la suite diverge vers l'infini, la différence entre deux termes successifs pourrait très bien tendre vers 0. Cela voudrait donc dire que
est telle que
(ce qui ne me semble pas évident du tout).
Dans le cas d'une suite bornée, on peut extraire une sous-suite convergente et cela revient au cas d'une suite convergente, cas qui est réglé.
...
Merci d'avance.
Une petite remontée
Je viens de voir qu'en effet, lorsqu'une suite de réels tend vers l'infini et que la différence entre deux termes successifs tend vers 0, alors il existe une sous-suite telle que la différence entre cette sous-suite et n tende vers 0. Mais de là à la démontrer...
Bonjour, puisea
Tu as donc vu que lorsque la suite (u_n) est convergente, le résultat demandé est établi (c'est en fait le seul élément dont j'ai besoin pour la suite de la démonstration).
Supposons donc que la limite de la borne supérieure de l'ensemble considéré soit strictement inférieure à 1.
Alors, on dispose d'un réel q<1 tel que à partir d'un certain rang N:
donc tel que
Ceci implique que, à partir d'un certain rang:
On en déduit (classiquement) qu'à partir d'un certain rang
Mais alors, en reprenant l'inégalité de départ, à partir d'un certain rang:
Mais ceci implique que (a_n) est décroissante à partir d'un certain rang, donc convergente.
Bonjour perroquet,
J'ai parfaitement compris ta démonstration. Seulement, est-ce que je peux me permettre de te demander quelques détails supplémentaires pour :
On en déduit (classiquement) qu'à partir d'un certain rang
Car en partant de l'inégalité
Merci beaucoup en tout cas.
Une solution alternative (plus simple je pense ) :
On raisone par l'absurde, dire que limsup bk <1 veut exactement dire que bk <=1 à partir d'un certain
en écrivant bn<= 1 et en manipulant l'expression de bn on ecrit facilement que :
a(n+1) <= (1+1/n).an - 1
à partir d'un certain rang. mais on peut supposer que c'est vrai dès le rang 0 quitte à considérer la suite a(n+m)
on pose ensuite Vn telle que V(n+1) =(1+1/n)Vn - 1
et on montre par récurence que Vn=n(V1 -1/2-1/3-... -1/n )
et montre enfin par récurence que (tant que an>0) alors Vn>an>0 ce qui est impossible puisque Vn -> -l'infini !
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