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Suite solution d'une équation
Exo plus difficile qu'à première vue.
On définie la fonction fn par : fn(x)= exp (- n (x+(1/x)) ) si x
0
et fn(0)= 0.
Il faut montrer que pour tout ao, l'équation d'inconnue x, fn(x)=a(x-1) admette une unique solution.
Après avoir étudié fn, on voit graphiquement qu'il est impossible d'avoir une solution sur [0,1].
Mais je ne vois comment prouver la question (l'étude de fn(x)-a ne m'a pas beaucoup aidé d'après mes résultats). Merci d'avance!
salut
il me semble que:
fn croit strictement de [0,1] dans [0,e-2n] et décroit strictement de [1,+
[ dans ]0,e-2n]
la fonction affine ga=a(x-1) est strictement monotone et s'annule en 1
si a<0 alors ga est strict. décroissante de [0,1] dans [0,-a] donc l'équation fn(x)=ga(x) admet une unique solution dans [0,1]
si a>0 alors ga est strict. croissante de [1,+[ dans [0,+[ donc l'équation admet une unique solution dans [1,+[
ce me semble-t-il
Merci de m'aider.
Désolé mais je ne comprends pas bien comment, à partir des intervalles images,
tu en conclues qu'il n'y a qu'une unique solution.
Pourrais tu m'expliquer?
suivant que g est croissante ou décroissante tu te place dans l'intervalle où f fait le contraire et vu les bornes, les courbes se croisent de manière unique vu la stricte monotonie
Ok je comprends, mais il y pas un problème g de [0,1] dans [0,-a]?
Une stricte décroissante avec un maximum qui vaut 0, alors que -a est strictement positif dans l'hypothèse.
Sinon merci, j'ai un peu de mal à visualiser dès qu'il faut distinguer les cas.
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