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Posté par
tome7 11-10-08 à 01:46

Coucou!


1. Soit f la fontion définie sur \mathbb{R} par f(x) = \frac{x}{x^2 + x +1}.
   On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

   (a) Etudier les variations de f ainsi que ses limites en -\infty et +\infty.
   (b) Calculer une équation de la tangente T à C à l'abscisse 0.
   (c) Etudier la postition relative de C et de T. Préciser les points d'intersection.
   (d) Construire C et T


2. On considère la suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} définie par : u_0 = 1 et pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1} = f(u_n) = \frac{u_n}{u_n^2 + u_n + 1}

   (a) Soit p un entier naturel non nul. Montrer que f(\frac{1}{p}) \le \frac{1}{p+1}.
   (b) En déduire par récurrence que pour tout n\in\mathbb{N}, 0< u_n \le \frac{1}{n+1}
   (c) Calculer \lim_{n\to +\infty} u_n

3. (a) Vérifier que, pour n\in\mathbb{N}, \frac{1}{u_{n+1}} = u_n + 1 + \frac{1}{u_n}.
   (b) En déduire, par récurrence et à l'aide du 2.(b) que pour tout n\ge1, \frac{1}{u_n}\le n + 1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

4. (a) Justifier l'inégalité pour tout entier k\ge2,   \frac{1}{k}\le \int_{k-1}^{k} \frac{dx}{x}.
   (b) En déduire pour n\ge2,  \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} \le ln(n), puis que, pour n\ge2, \frac{1}{u_n}\le n + 2 + ln(n) \\
   (c) A l'aide des résultats précédents, calculer \lim_{n\to +\infty} nu_n \\

Posté par
tome7re : SUITEs 11-10-08 à 01:48

ALors mes problèmes résident dans létude relative de C et de T = question 1.(c)  Je n'arrive pas à étudier le signe de la dérivée de f(x) - x

Ensuite je ne vois pas du tout comment faire pour la 4.(b) et 4.(c)


Merci d'avance!

Posté par
Roulianere : SUITEs 11-10-08 à 02:11

Bonjour,

Je comprends pas pourquoi tu veux étudier le signe de la dérivée de f(x)-x ?
Tu dois étudier directement le signe de f(x)-x !

Si je me trompe pas, on a : 3$ f(x)-x = \frac{-x^2(1+x)}{x^2+x+1}. Pas trop dur d'étudier le signe

Posté par
Roulianere : SUITEs 11-10-08 à 02:12

Pour la 4b) somme l'inégalité obtenue en 4)a) pour k allant de 2 à n.

Posté par
tome7re : SUITEs 11-10-08 à 02:17

OK!!! pour la 1.(c), j'ai dérivé pour en fait étudier le sens de variation et tout, mais je me suis compliqué pour rien ^^

Pour la 4. (b) je ne comprends pas comment tu fais disparaitre l'intégrale pour ne garder que ln(n), est ce une somme telescopique?


Et pour la 4.(c), je ne vois toujours pas

Posté par
Roulianere : SUITEs 11-10-08 à 02:22

Si tu sommes de k=2 à n ça te donne :

4$ \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} \le \Bigint_1^2 \frac{1}{x}dx + \Bigint_2^3 \frac{1}{x}dx ... + \Bigint_{n-1}^n \frac{1}{x}dx

Le terme de gauche, pas de problèmes, on retrouve la somme cherchée.
Le terme de droite, il suffit d'appliquer la relation de Chasles :  on se retrouve alors avec une seule intégrale, qu'on calcule simplement.

Posté par
tome7re : SUITEs 11-10-08 à 12:16

Ok Ok!!

Et donc pour la question 4. (c) la limite est +\infty ?

car \frac{1}{u_n}\le n + 2 + ln(n)

équivaut à  u_n\ge \frac{1}{n} + \frac{1}{2} + \frac{1}{ln(n)}
équivaut à  nu_n\ge n(\frac{1}{n} + \frac{1}{2} + \frac{1}{ln(n)}) \\
Et comme le membre de droite tend vers +\infty quand n tend vers +\infty alors nu_n tend vers +\infty ?

Posté par
Roulianere : SUITEs 11-10-08 à 12:24

Ouh là, attention, 3$ \frac{1}{n+2+ln(n)} \; \neq \; \frac{1}{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{ln(n)} !!

Essaye de montrer que la suite (nUn) converge vers 1.

Pour celà il faut encadrer nUn. T'étais bien parti sauf que t'as fait une petite erreur en inversant l'inégalité.
Utilise aussi la question 2b) pour la majoration.

Posté par
tome7re : SUITEs 11-10-08 à 12:29

Oki, j'ai capté!

Merci à toi Rouliane !

Posté par
Roulianere : SUITEs 11-10-08 à 12:43

Je t'en prie


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