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Posté par
tome7 17-10-08 à 00:59

Hello!!

Voilà j'ai priblèmes avec cet exercice!

On considère les n points du plan S_0, ..., S_{n-1} d'affixe s_k = e^{\frac{2ik\pi}{n}} pour k \in {0,1,...,n}, ces n points délimitant un polygone régulier de centre O. On considère n autres points T_0, T_1, ..., T_{n-1}, d'affixes t_0, t_1,..., t_{n-1} tels que
    T_0, T_1, ..., T_{n-1} est un polygone régulier de centre O.
     S_k est le milieu de T_kT_{k+1} pour k \in {0, 1, ..., n-2}.


1. Démontrer que \lim_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1
2. Donner en fonction de n le périmètre de a_n de S_0...S_{n-1}.
3. Que valent a_3, a_4, a_8?
4. Quelle est la limite de (a_n)?
5. Quelle relation existe-t-il entre t_{k+1} et t_k pour k \in {0, 1, ..., n-2} et t_0 et t_{n-1}
6. Déterminer t_k en fonction de k
7. Calculer le périmètre b_n de T_0T_1...T_{n-1} en fonction de n.
8. Que valent b_3, b_4, b_8?
9. Quelle est la limite de (b_n)?

On pose pour n\ge 2, u_n = a_{2^n} et v_n = b_{2^n}. Autrement dit u_n = a_4, u_3 = a_8 ... et de même v_2 = b_4, v_3 = b_8...
10. Montrer que (u_n) et (v_n) vérifient les relations     u_{n+1} = \sqrt{u_nv_{n+1}}    v_{n+1} = 2\frac{u_nv_n}{u_n+v_n}

Posté par
tome7re : SUITEs 17-10-08 à 01:02

1. OK
2. OK
3. Problème avec a_8 où j'ai a_8 = 8*2*|sin(\frac{5\pi}{8})|
4. C'est donc +\infty non?
5. Je bloque


Merci d'avance pour l'aide!!

Posté par
veledare : SUITEs 17-10-08 à 12:13

bonjour,
les s_k sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle trigonométrique
le côté s_ks_{k+1}correspond à un angle au centre égal à \frac{2\pi}{n}on en déduit dans le triangleOs_ks_{k+1}      s_ks_{k+1}=2sin(\frac{\pi}{n})
donc le périmètre cherché c'est2nsin(\frac{\pi}{n})
pour n=8 cela donne 16sin(\frac{\pi}{8})

4) il faut utiliser 1)

p=2nsin(\frac{\pi}{n})=2\pi{sin(\frac{\pi}{n})/(\frac{\pi}{n})
sinu/u->1quand u->0 ,quand n->+oo \pi/n-->0
donc quand n->+oo limp=2\pi

Posté par
veledare : SUITEs 17-10-08 à 12:15

p c'est lealpha_ndu texte

Posté par
veledare : SUITEs 17-10-08 à 12:26

les t_k sont les sommets du polygone régulier de n côtés circonscrit au cercle trigonométrique fais une figure

Posté par
tome7re : SUITEs 17-10-08 à 16:03

Bonjour!
Alors je ne comprends pas comment on obtient s_ks_{k+1}=2sin(\frac{\pi}{n}).

Pour la 5. je dis que t_{k+1} = 2s_k - t_k ?
et donc que t_0 = 2s_{n-1} - t_{n-1} ?

Et donc dans la 6. je ne vois pas comment éliminer le t_{k+1}

Posté par
veledare : SUITEs 17-10-08 à 16:38

........0



sk.......m........sk+1
sketk+1sont sur le cercle de centre 0 de rayon 1
l'angle sk0sk+1=2/n
si m est le milieu du coté opposé à O Om est bissectrice de l'angle en O(triangle isoscèle)
sksk+1=2skm=2Oskcos(Oskm)=2sin/n

Posté par
tome7re : SUITEs 17-10-08 à 17:27

Ok Ok!! J'ai compris

Et pour la question 6. j'ai l'impression qu'il faut que je me serve d'une série mais je ne vois pas du tout comment faire

Posté par
veledare : SUITEs 17-10-08 à 18:12

d'aprés le texte les Tksont les sommets d'un polygone régulier à n  côtés inscrit dans un cercle de centre O
on passe donc de   TkàTk+1par la rotation de centre O d'angle 2/n
donc tk+1=tke2i/n=>tk=t0e2ik/n
il reste à touver t0
on va utiliser ce que tu as écrit
2sn-1=tn-1+t0
tu connais sn-1,tu sais exprimer tn-1en fonction de t0 donc cela va te donner t0donc tk

Posté par
tome7re : SUITEs 20-10-08 à 20:15

Bonjour! J'ai toujours un problème avec la question 6. (décidément...)
Je calcule donc s_{n-1} = e^{\frac{-2i\pi}{n}}
mais j'ai t_{n-1} = t_0e^{\frac{-2i\pi}{n}}

Ce qui fait que j'ai t_0 = 2e^{\frac{-2i\pi}{n}} - t_0e^{\frac{-2i\pi}{n}}

Posté par
tome7re : SUITEs 20-10-08 à 20:20

Donc si je réinjecte dans l'expression t_k=t_0e^{\frac{2ik\pi}{n}} j'aurais toujours t_0 et ca ne résout rien :?

Posté par
tome7re : SUITEs 20-10-08 à 21:44

Posté par
veledare : SUITEs 20-10-08 à 23:39

bonsoir,
dans ton post de 20h15 tu groupes les t0dans le membre de gauche
t0(1+e-2i/n)=2e-2i/n
donc t0=..

Posté par
tome7re : SUITEs 21-10-08 à 00:34

Oki merci! J'en ai presque honte de n'avoir pas vu ça
donc t_k = (\frac{2e^{\frac{-2i\pi}{n}}}{1+e^{\frac{-2i\pi}{n}}})(e^{\frac{2ik\pi}{n}})

Après pour la 7. J'ai donc b_n = n(\frac{1}{cos(\frac{\pi}{n})})
donc après  8. b_3 b_4 et b_8 se trouvent facilement
pour la 9. c'est +\infty puisque cos(\frac{\pi}{n} tend vers 1

Pour la 10. J'ai pensé à la démonstration par récurrence mais je bloque dès l'initialisation avec des termes différents entre les deux branches

Posté par
veledare : SUITEs 21-10-08 à 06:36

bonjour,
je crois que  te trompes
je trouve OT0=1/cos/n ce qui donne T0T1=2OT0sin/n=2tan(/n)
donc bn=2ntan(/n)
bn=2tan(/n)/(/n)
quand n->+oo limbn=2   car lim tan(u)/u=1 quand u->0 ici u=/n et quand n->0 u->0

Posté par
veledare : SUITEs 21-10-08 à 06:59

10)unvn+1=(22nsin(/2n)(22n+1tan(/2n+1)
tu utilises sin(/2n)=2sin(/2n+1)cos(/2n+1)
cela doit donner le résultat demandé

Posté par
tome7re : SUITEs 21-10-08 à 21:41

OKI!!!


et pour la 2ème égalité on utilise en plus du fait que sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
on utilise aussi cos(p) + cos(q) = 2cos(\frac{p+q}{2})cos(\frac{p-q}{2})

Merci pour tout Veleda!!


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