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Suites

Posté par
geronimoo 26-01-09 à 18:08


Bonjour à tous, Pouvez vous m'aider pour cette exercice?
Soient Un une suite tel que Un+1=Un²+Un u0=a avec a un réel strictement positif
On sait que Un est monotone et strictement positive et qu'elle diverge (prouver précédemment)

On pose maintenant Vn=1/2n *ln(Un)

je dois prouver que
0 Vn+p+1-Vn+p1/ 2n+p+1 *ln(1+1/Un) pour tous n,p

je pense à un raisonnement par récurrence mais sa n'aboutit pas...
pouvez vous m'aider?

Posté par
MataHitiennere : Suites 26-01-09 à 18:15

Salut,

V_{n+p+1}-V_{n+p}=...=\frac{1}{2^{n+p+1}} \left(\ln(U_{n+p+1})-2 \ln(U_{n+p})\right)=...=\frac{1}{2^{n+p+1}} \ln \left(1+\frac{1}{U_{n+p}}\right)

Est-ce que ça aide ?

Posté par
raymond Correcteurre : Suites 26-01-09 à 18:18

Bonsoir.

3$\textrm v_{n+p+1}-v_{n+p} = \fra{1}{2^{n+p+1}}[ln(u_{n+1}-2ln(u_n)]\\ \\ \\ = \fra{1}{2^{n+p+1}}ln(\fra{u_{n+1}}{u_n^2}) = \fra{1}{2^{n+p+1}}ln(1+\fra{1}{u_n})

Peut-être as-tu assez de renseignements sur un pour poursuivre.

Posté par
geronimoore : Suites 26-01-09 à 18:18

oui merci beaucoup

Posté par
raymond Correcteurre : Suites 26-01-09 à 18:19

Bonsoir MataHitienne.

Je vois que j'ai oublié des "p" en indices !!

Posté par
geronimoore : Suites 26-01-09 à 18:20

raymond..
Pi=ourquoi vous ne mettez pas de p dans ln(Un+1-2Ln(Un)??

Posté par
geronimoore : Suites 26-01-09 à 18:21

je me disais aussi..
merci à vous deux
bonne continuation

Posté par
MataHitiennere : Suites 26-01-09 à 18:21

En effet :p
malheureusement, cela rend la question moins évidente

Posté par
geronimoore : Suites 26-01-09 à 18:32

désolé j'ai encore besoin d'aide

on me demande d'en déduire que
0 Vn+k+1-Vn 1/2n ln(1+1/Un) et de montrer que Vn converge vers un réel noté l

je vois pas comment utiliser la question précédente

Posté par
MataHitiennere : Suites 26-01-09 à 18:35

Hmmm quelles étaient les questions précédentes exactement ?

Parce que tu pourrais montrer que la suite Un est croissante et que donc ln(1+1/U_(n+p)) < ln(1+1/Un), ce qui clot la quesiton.

Pour le >0, c'est évident puisque Un est positive et donc ln(1+1/U_(n+p)) est positif.

Posté par
geronimoore : Suites 26-01-09 à 18:38

merci encore
je n'avais pas penser à faire sa
bonne soirée

Posté par
raymond Correcteurre : Suites 26-01-09 à 18:45

Je rectifie.

2$\textrm v_{n+p+1}-v_{n+p} = \fra{1}{2^{n+p+1}}.ln(1+\fra{1}{u_{n+p}})

La croissance de la suite (un) signifie que :

pour tout p, un < un+p

En passant aux inverses on arrive bien à l'inégalité souhaitée.

Posté par
MataHitiennere : Suites 26-01-09 à 18:47

Citation :
La croissance de la suite (un) signifie que :

Justement, on sait juste que la suite est monotone :s

Posté par
geronimoore : Suites 26-01-09 à 18:49

non elle est croissante
désolé j'ai oublié de le préciser

Posté par
raymond Correcteurre : Suites 26-01-09 à 18:49

Si elle était décroissante, étant minorée par 0, elle convergerait.

Posté par
MataHitiennere : Suites 26-01-09 à 18:50

Citation :
Si elle était décroissante, étant minorée par 0, elle convergerait.

Hihi l'étourdie
Merci !

Posté par
raymond Correcteurre : Suites 26-01-09 à 19:39

Bonne soirée.


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