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Suites.

Posté par
kyliox 27-01-09 à 18:34

Bonjour, il y a une petite question sur laquelle je bloque. Voici l'énoncé :



Wn= (nn)/(n!)    n1


Prouver que:      lim  (1/n)ln(Wn) = 1
                        n->+







ps: Gui-tou a raison, c'était bien le même sujet dans l'autre post, j'ai du confondre avec un autre exercice, j'en ai fait tellement^^

Posté par
gui_toure : Suites. 27-01-09 à 18:47

Ah tu vois

Déjà, que vaut 1/n * ln(Wn) ?

Y a-t-il des questions avant ça ?

Posté par
Nightmarere : Suites. 27-01-09 à 18:50

Bonsoir

Montre que 3$\rm \frac{W_{n+1}}{W_{n}}\longrightarrow_{n\infty} e

on en déduit (application quasi-directe de Cesaro) que 3$\rm \sqrt[n]{W_{n}}\longrightarrow_{n\infty} e
en passant au log :
3$\rm \frac{1}{n}ln(W_{n})\longrightarrow_{n\infty} ln(e)=1

Posté par
kylioxre : Suites. 27-01-09 à 18:53

Oui il y a des questions avant. Il faut :
-trouve la limite de ln(W(n+1))-ln(Wn) (trouvé 1)
-montrer que x-ln(1-x)
-En déduire la somme que j'ai posété dans l'autre topic.

Ben sinon pour (1/n)*ln(Wn) j'ai trouver : ln n/[(n!)1/n]

Mais sinon, nan je vois pas comment faire.

Posté par
Nightmarere : Suites. 27-01-09 à 18:54

Une autre méthode est de remarquer que 3$\rm \frac{1}{n}ln\(W_{n}\)=-\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n} ln\(\frac{k}{n}\).

On a quasiment une somme de Riemann, il faut justifier un peu plus pour montrer que ça converge effectivement vers l'intégrale impropre 3$\rm -\Bigint_{0}^{1} ln(x)dx

Posté par
kylioxre : Suites. 27-01-09 à 18:55

Ah ben maintenant je vois mieux, merci^^

Posté par
kylioxre : Suites. 27-01-09 à 18:57

Pourais-tu juste m'expliquer rapidement l'application de Césaro stp.

Posté par
Nightmarere : Suites. 27-01-09 à 19:54

Re bonsoir,

Applique le lemme de Cesaro à 3$\rm ln(W_{n})-ln(W_{n-1})


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