bonjour,

voila l'exercice, je bloque sur la question c :

soient p > q > 0 on considère les suites réelles (u_n)_n et (v_n)_n définies par :

u_n = (pu_n-1 + qv_n-1)/ (p+q)

v_n = (qu_n-1 + pv_n-1)/ (p+q)

et v₁>u1
a)montrer que pour tout n>= 1, vn-un>0
j'ai montrer ça par hypothese recurrence ,

b) montrer que les deux suites sont adjacentes, en déduire qu'elles converge vers la meme limitie l
j'ai étudié le signe de u_n+1 - u_n ^(idem pour v) et j'ai trouvé la suite u croissante, v décroissante

j'ai posé lim u_n = l1 et lim v_n=l2
on a :
l1 = (pl1 + ql2) / (p+q)
l2 = (ql1 + pl2) / (p+q)
on trouve l1 = l2 = l

donc lim u_n - lim v_n = lim (u_n-v_n) = 0

donc les suites sont bien adjacentes, par contre j'ai qq doutes sur ce que j'ai fait pour montrer lea convergence vers l, est ce qque c'est juste?

C) montrer que l=(u1+v1)/2

j'ai essayé de remplacé avec les definitions de un et vn et je me suis retrouvé avec
l = (u0 + v0) / 2 mais aucune idée pour prouvé ce qui est demandé...


merci