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Suites adjacentes liées l'une à l'autre
Bonsoir,
alors je dois démontrer que les U et V sont adjacentes:
Un+1=sqrt(UnVn) et Vn+1= (Un+Vn)/2
On précise U0=a et V0=b tel que 0<a<b.
J'ai cherché à démontrer que l'une est croissante et l'autre décroissante en faisant la différence (Un+1-Un) mais j'arrive à rien de concluant.
Merci de vos conseils!
Bonne soirée
On peut déjà remarquer par récurrence que u(n) et v(n) sont >0 (ce qui assure l'existence de la racine)
Ensuite effectivement tu prouves que (x+y)/2
racine(xy) (la différence des 2 est positive, facile à prouver)
Comme ça, tu auras u(n+1)
v(n+1)
et comme u(0)<v(0) alors on a bien u(n)v(n) pour tout n
Tu pourras alors faire u(n+1)-u(n) (remarque par exemple que u(n)=racine(u(n)²) )
ou alors il était plus simple de faire u(n+1)/u(n)
Pour v(n+1)-v(n) c'est facile
Le + délicat c'est pour prouver que v(n)-u(n) tend vers 0
Pour cela tu peux vérifier que v(n+1)-u(n+1)=(
v(n)-u(n))²/2
Puis vérifier que (v(n)-u(n))²v(n)-u(n)
Je te laisse poursuivre ...
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