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suites convergente/bornée
Bonjour , on me demande de démontrer que la série de terme générale an = Vn ( 1/n - 1/(n+1)) converge absolument
avec Vn = somme allant de 1 a n de cos (kx) (dans la question précédente j'ai démontré qu'elle était bornée)
javais pensé dire que an = Vn * (1/n²+n)
or 1/(n²+n) > 0
et Vn de signe variable
donc |an| = |Vn|*(1/(n²+n)) soit la suite est à termes positifs
donc on a |an| < |vn| * 1/n²
or |vn| bornée et 1/n² terme général d'une série de Riemann : on en déduit |an| converge d'après le théoreme de comaparaison des séries a termes positifs donc la série de terme général an converge absolument , j'ai juste ? merci
Re merci , pouvez-vous encore m'aider ?
on me donne un = cos nx / n
et on a Un = somme allant de 2 à n de (Vk-V(k-1))/k + V1 = somme de k allant de 1 à n-1 de Vk(1/k - 1/k+1 ) + Vn/n
on nous demande d'en déduire la série de terme générale un converge :
j'avoue je bloque un peu : /
merci bcp !
je dis peut être une connerie mais bon :
la série de terme générale an converge absolument donc la STG an converge simplement
or Un = somme de k allant de 1 à n-1 de Vk(1/k - 1/k+1 ) + Vn/n
soit en se ramenant à an :
Un = somme de k allant de 1 à n de ak + Vn/(n+1) [on rajoute cela afin d'avoir la somme jusqu'à n )
or Vn borné et 1/(n+1) tend vers 0
donc leur produit est une suite convergente
et la somme de k allant de 1 à n de ak correspond à la somme partielle de la série de terme générale an et elle converge
On a Un = somme de deux suites convergente
Un converge
Donc la STG un converge , je suis pas sur de moi là votre avis ?
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