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Suites D'INtégrales

Posté par
tome7 31-01-09 à 00:44

Bonsoir, voilà l'exo où je bloque

Soient f la fonction numérique de la variable réelle définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2^}}
et (u_n) la suite des nombres réels déterminée par :
4$\{{u_0=\int_0^{1} f(x) dx\atop \forall n\in\mathbb{N}*, u_n=\int_0^{1} x^nf(x)dx}

l'exo est divisé en 3 parties différents

Dans la 2ème partie on a F(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1^}) primitive de f(x). Je ne sais pas si cela peut servir

J'en suis à la 3ème partie

1. Calculer u_0 et u_1
2. Effectuer une intégration par parties et calculer u_3. (On pourra remarquer que \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2^}}=x^2\frac{x}{\sqrt{1+x^2^}})
3. Déterminer le sens de variations de la suite (u_n).
4. Montrer que la suite (u_n) est convergente.(on ne cherchera pas sa liùite dans cette question)
5. Justifier l'encadrement suivant :

    \forall x \in [0,1], \forall n \in\mathbb{N}, 0\le\frac{x^n}{\sqrt{1+x^2^}}\le x^n

en déduire que : \forall n \in\mathbb{N}*, 0\le u_n \le \frac{1}{n+1}

6. Déterminer alors la limite de (u_n)

Posté par
tome7re : Suites D'INtégrales 31-01-09 à 00:50

pour u_1 je dis que primitive de xf(x) c'est \frac{2}{3}(\frac{x^2}{1+x^2^})^{\frac{3}{2}} donc u_1=\frac{\sqrt{2}}{6}

et je bloque à la
2. avec u_3=u1-\int_0^1 2x*\frac{2}{3}(\frac{x^2}{1+x^2^})^{\frac{3}{2}}

Merci d'avance

Posté par
dhaltere : Suites D'INtégrales 31-01-09 à 09:32

As-tu établi une relation entre les différents termes de la suite ?

Calcule la dérivée de f et établit une relation entre f' et f
puis intègre par partie u_n (en utilisant le résultat précédent) et trouve une relation entre les termes de la suite.

Posté par
galere64re : Suites D'INtégrales 01-02-09 à 23:26

Bonsoir,
A mon sens le résultat pouru_1 est faux, ta primitive me paraît bizarre, je peux me tromper mais essaye avec celle-ci\sqrt{1+x^2} qui me paraît plus simple et plus facilement utilisable pour calculeru_3. A demain!


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