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Niveau Licence Maths 1e ann
Suites de fonctions.
Posté par E_McDo
Bonjour, bonsoir. Voici l'exercice:
Citation :
On pose
x
0 et n
, fn(x)=e-x^n, et on définit In=0
+
fn(t)dt.
1) Étudier la convergence simple sur [0;+[ de la suite de fonctions (fn)n. [C'EST FAIT.]
2) Montrer que h(u)=ue-u vérifie h(u)<1u1. En déduire que si t1 0<fn(t)<1/tn. [FAIT.]
3) Après avoir justifié la convergence de l'intégrale généralisée, montrer lim1+fn(t)dt=0 quand n
+. [FAIT.]
4) Y a-t-il convergence uniforme de (fn) sur [0;1]? Et sur [0;1[? [FAIT.]
5) Soit
]0;1[. Calculer lim 01-fn(t)dt quand n+ en justifiant soigneusement votre réponse. [PAS RÉUSSI.]
6) Déterminer lim01fn(t)dt quand n+. En déduire enfin la lim In quand n+. [PAS FAIT.]
On pose
x0 et n, fn(x)=e-x^n, et on définit In=0+fn(t)dt.
1) Étudier la convergence simple sur [0;+
[ de la suite de fonctions (fn)n. [C'EST FAIT.]
2) Montrer que h(u)=ue-u vérifie h(u)<1
u1. En déduire que si t1 0<fn(t)<1/tn. [FAIT.]
3) Après avoir justifié la convergence de l'intégrale généralisée, montrer lim1
+fn(t)dt=0 quand n+. [FAIT.]
4) Y a-t-il convergence uniforme de (fn) sur [0;1]? Et sur [0;1[? [FAIT.]
5) Soit
]0;1[. Calculer lim 01-fn(t)dt quand n+ en justifiant soigneusement votre réponse. [PAS RÉUSSI.]
6) Déterminer lim0
1fn(t)dt quand n+. En déduire enfin la lim In quand n+. [PAS FAIT.]Je vois comment déduire la limite de In, mais sans répondre à la question 5) et au début de la question 6) ça va être dur de trouver.
Ce sont donc la question 5) et le début de la question 6) qui me posent problème.
Ça doit être évident mais là je ne vois pas...
C'est pourquoi éclairez-moi de votre lumière!
Merci d'avance pour votre aide.
1 \le fn(t)\le e-(1-)n on integre on trouve
1- \le \int_0{1-
}fn(t) \le (1-
)e-(1-
)n.....
\int_{1-}^1 fn(t)<
)(majore fn(t) par 1)...
Bonsoir.
Je n'ai pas compris comment vous avez trouvé 1
fn(t)e-(1-)n.
En étudiant les variations de fn, sauf erreur, j'ai trouvé que 0<fn1...
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