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Suites et équivalents
Bonjour, je bloque depuis plus d'une heure sur un exercice et je trouve aucune réponse. J'ai quelques pistes mais ça n'aboutit à rien. Si je pouvais donc avoir un peu d'aide, cela ne serait pas de refus, même si vous ne me donnez que quelques indications sur la méthode.
Voici l'énoncé :
On considére deux suites équivalentes (un) et (vn) lorsque n tend vers +infini.
1. Montrer que si la suite (un) est bornée alors exp(un) équivalent à exp(vn).
2. Montrer que si la suite (un) est minorée par un réel supérieur à 1, alors ln(un) équivalent à ln(vn).
3. On considére une suite (wn) qui tend vers 0. Il faut montrer que ln(1+wn) équivalent à wn.
Je pense que c'est un peu la même méthode pour la 1 et la 2 mais je ne sais pas du tout d'où partir. Je ne vois pas le rapport entre les hypothèses qu'on nous donne et ce qu'il faut démontrer. Auriez-vous des pistes svp ? Merci d'avance !
Bonjour
1. signifie qu'il existe une suite
qui tend vers 0 telle que
donc telle que
Mais alors . Comme
est bornée,
tend vers 0, donc
avec
tendant vers 0. On a donc bien
Bonjour,
Un et Vn sont équivalentes si lim(Un/Vn) = 1 ou lim (Vn/Un) = 1
1) Un bornée, donc m <= Un <= M
exp(Un)/exp(Vn) = exp(Un-Vn)
= exp(Un(1-Vn/Un))
= exp(1-Vn/Un)^exp(Un) car on a généralement exp(ab) = exp(a)^exp(b)
donc
exp(1-Vn/Un)^exp(m) <= exp(Un)/exp(Vn) <= exp(1-Vn/Un)^exp(M)
Et on conclut en appliquant le théorème des gendarmes :
lim(Vn/Un) = 1 donc lim exp(1-Vn/Un) = exp(0) = 1, et 1^exp(m) = 1^exp(M) = 1
donc lim(exp(Un)/exp(Vn)) = 1
Je poste déjà ça, et je regarde pour la suite...
Pour 2), en reprenant les notations de Camélia :
ln(Vn) = ln(Un) + ln(1+Wn)
Ln(Vn)/ln(Un) = 1 + ln(1+Wn)/ln(Un)
Un minorée par r > 1, donc ln(Un) minorée par ln(r) > 0, donc
|ln(Vn)/ln(Un) - 1| <= |ln(1+Wn)|/ln(r)
et lim Wn = 0
donc lim ln(1+Wn) = 0
donc lim |ln(Vn)/ln(Un) - 1| = 0
donc lim ln(Vn)/ln(Un) = 1
Pour 3), on a plus généralement (propriété du ln) :
lim x-> 0 ln(1+x)/x = 1
Ca suffit pour conclure...
Merci beaucoup pour la 1 déjà !!! J'avais commencé comme tu l'as fait LeHibou mais je n'avais pas été jusqu'au bout du calcul et n'avait pas fait le rapprochement avec la suite bornée et donc m et M ^^.
J'ai posté sans voir tes réponses pour le reste. C'est vrai que pour la trois, c'est assez évident en fait. Encore merci à vous deux !!!
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