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Suites et limites

Posté par
niftyeh 02-11-08 à 17:11

Bonjour,

Je bloque sur cette question (qui est la premiere question d'un probleme....). Pourriez-vous m'aider s'il  vous plait?
Voici l'enonce:

(xn) est une suite reelle bornee,
yn=(x0+x1+...+xn)/(n+1)

Montrer que lim inf Xp <= lim inf Yp   p>=n et n--> +infini
et que lim sup  Yp <= lim sup Xp

Donner un exemple de suite (xn) pour laquelle ces inegalites sont des inegalites strictes.

Je n'ai pas reussi a faire la premiere partie...
Pour la suite exemple, j'ai considere la suite definie par:
x0=1/2
x1=0
xi=1 quand i pair et i>=2
x[i+1]=0

Graphiquement je vois que ca marche mais pas quand je passe a la limite..... Auriez-vous une idee s'il vous plait!!
Merci beaucoup d'avance!

PS: Veuillez excusez la mauvaise presentation, je n'arrive pas a faire les symboles avec mon ordi..... :'(
              

Posté par
tringlaridore : Suites et limites 02-11-08 à 17:29

Ce n'est pas ton ordinateur qui va t'aider à faire des jolies formules c'est la syntaxe latex. Il y a la section comment faire des formules latex sur ce site qui explique cela.


Pour répondre à ton problème :
x_i := \left\{ \begin{array}{ll} \\ 0 & \text{si i est pair} \\ \\ 1 & \text{si i est impair} \\ \end{array} \right.

vérfie :
\liminf x_i = 0 \quad \text{et} \quad \limsup x_i = 1

Par contre :

\frac{x_0+\ldots+x_n}{n+1}

converge vers 1/2. Donc les inégalités sont strictes.


Pour démontrer l'inégalité dans le cas général, il faut revenir à la définition de liminf et limsup avec les \epsilon et voir que les premiers termes de la suite ne jouent pas un grand rôle.

Posté par
niftyehre : Suites et limites 02-11-08 à 17:57

merci pour ta reponse.

Pour la suite yn,  en quoi le fait que yn cv vers 1/2 prouve les inegalites strictes?
En fait mon probleme c'est que je n'arrive pas a voir ce qu'est sup Yn et inf Yn....

Posté par
tringlaridore : Suites et limites 02-11-08 à 18:01

Connais-tu la définition de limite, de limite supérieure de limite inférieure ? Et la relation entre ces trois notions ?

Posté par
niftyehre : Suites et limites 02-11-08 à 18:11

Je connais la definition de limite.
Les autres notions je ne les ai pas vues.

Posté par
tringlaridore : Suites et limites 02-11-08 à 18:23

Tu crois pas qu'il faudrait commencer par là pour faire l'exercice !!

\limsup x_i := \lim_{i \to \infty} \left(\ sup_{j \geq i} x_j \right)

Question : pourquoi est-ce bien défini ?

De la même façon :

\liminf x_i := \lim_{i \to \infty} \left( \inf_{j \geq i} x_j \right) \

Posté par
niftyehre : Suites et limites 02-11-08 à 18:27

c'est bien defini parce que la suite xn est bornee.
Ce que tu as ecrit l'enonce me le donnait...

Posté par
niftyehre : Suites et limites 02-11-08 à 18:29

Pourrais-tu m'expliquer ton raisonnement pour l'exemple de la suite Yn? En quoi le fait que Yn converge vers 1/2 nous donne-t-il les inegalites strictes?

Posté par
tringlaridore : Suites et limites 02-11-08 à 18:30

Non. Le fait que la suite est bornée n'implique pas que la limite que j'ai écrite existe. Pourquoi la suite :

z_i := \sup_{j \geq i} x_j

converge t'elle ?

Toute les suites bornées ne convergent pas !

Posté par
niftyehre : Suites et limites 02-11-08 à 18:37

sup xj existe parce que la suite xn est bornee non? Donc l'ensemble des sup xj est borne.
Pour que ca converge faudrait egalement montrer que la suite sup xi est monotone....
Ensuite je ne vois pas...... Desole, j'ai vraiment du mal avec tout ce qui est sup et inf.....

Posté par
tringlaridore : Suites et limites 02-11-08 à 18:40

Pour la première assertion je suis d'accord. Ma suite z_i est bien définie parce que la suite est bornée.

Maintenant reste à voir pourquoi elle converge. Et, en effet, c'est une question de monotonie.


Ne t'inquiètes pas sur tes problèmes de compréhension, ces limsup et liminf sont des notions délicates. Cependant elles sont plus pratiques à manipuler que les limites car elles existent dès que la suite est bornée !

Posté par
niftyehre : Suites et limites 02-11-08 à 19:15

ok. Pourrais-tu sinon m'expliquer ton raisonnement sur la suite yn convergeant vers 1/2 s'il te plait? ^_^

Posté par
tringlaridore : Suites et limites 02-11-08 à 19:21

Il suffit que tu comprennes la relations entre liminf, limsup et lim... raison pour laquelle j'insiste sur la définition !

On a toujours, lorsque la limite existe :

\liminf x_i \leq \limsup x_i

et le cas d'égalité se produit si et seulement si la suite x_i converge. Auquel cas :

\liminf x_i = \limsup x_i = \lim x_i

Posté par
niftyehre : Suites et limites 02-11-08 à 19:24

d'accord j'ai compris!! Merci beaucoup pour ton aide! ^^


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