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suites et séries de fonctions
Bonjour je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant et j'espère que vous pourrez m'aider ou me donner une piste.
Soit (fn), n appartenant à N privé de 0 la suite de fonctions définies sur A =[0,pi/2] par fn(x) = n*(cos(x))^n*sin(x)
1. Etudier la convergence simple de la suite (fn).
Je pense que (fn) converge simplement vers f(x)=0 pour tout x de A. Qu'en pensez vous ?
2. Quelles sont les limites quand n tend vers + l'infini des coordonnées du point maximum de la courbe représentative de fn (Cn).
Avec l'outil informatique je trouve (0,+ l'infini) mais je n'arrive pas à le démontrer à la main.
Je cherche le point pour lequel la dérivée s'annule.
Merci d'avance de pouvoir m'aider
Il me semble que la dérivée s'annule en Pi/2 et Pi/4 (sauf erreur).
Mais de toute façon, f tend vers la fonction nulle dont le maximum est zéro 
comme on a vu que le max de fn tendait vers + l'infini on sup de valeur absolue de fn -f qui est égal à l'infini.
Donc fn ne converge pas uniformément !
êtes vous d'accord ?
enfin
on doit comparer
la limite de l'intégrale et l'intégrale de la limite.
La question est qu'observez vous ?
Qu'elles sont différentes surement puisque notre suite ne converge pas uniformément.
?
A priori il n'y a pas convergence uniforme car si on cherche un équivalent du sup de fn (trouvé à la question précédente), on trouve est équivalent à
qui diverge.
L'idéal serait de calculer les deux séparément pour s'assurer qu'elles sont bien différentes. Mais ce n'est pas sûr car la convergence uniforme n'est qu'une condition suffisante pour pouvoir permuter non ?
Par IPP successives on devrait s'en sortir. En notant I(n) l'intégrale de fn, par une première IPP on trouve I(n)=-n²I(n-2) il me semble (à vérifier) donc on arrive facilement au bout.
Au temps pour moi j'ai dit n'importe quoi.
Par contre I(n)=n-n²In d'où In=n/(1+n²) sauf erreur, je vais revérifier
oui
je ne retombe pas sur la même chose.
Pour l'intégration par partie vous posez u=(cosx)^n et v'= sinx ? ou l'inverse ?
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